A moagem de um minério gera uma mistura de dois sólidos
e
(
e
), que devem ser separados completamente por meio de peneirações e elutriações gravitacionais sucessivas, usando-se água a
como fluido de elutriação. Supondo que as interações sólido-fluido das etapas de elutriação obedecem à lei de Stokes, pede-se:
Calcule as aberturas de peneiras e as velocidades de elutriação que permitam efetuar a separação desejada.
Calcule as aberturas de peneiras e as velocidades de elutriação que permitam efetuar a separação desejada.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui! A gente tem uma mistura de dois sólidos, o A e o B, com gravidades específicas de 1,5 e 2,7, respectivamente. O objetivo é separar esses dois usando peneiras e elutriação gravitacional com água a 20°C. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Stokes, que nos ajuda a calcular as velocidades de sedimentação das partículas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade dos sólidos A e B. A gravidade específica (SG) é a razão entre a densidade do sólido e a densidade da água. Sabendo que a densidade da água a 20°C é aproximadamente
, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Stokes para relacionar o tamanho das partículas com as velocidades de sedimentação. A fórmula da Lei de Stokes é:
Onde:
-
é a velocidade terminal da partícula, -
é o raio da partícula, -
é a aceleração da gravidade, -
é a densidade da partícula, -
é a densidade do fluido (água), -
é a viscosidade dinâmica da água a 20°C.
Passo 4
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar o raio das partículas:
Mas como queremos separar A e B, precisamos escolher aberturas de peneiras e velocidades de elutriação que permitam essa separação. Vamos definir duas velocidades críticas, uma para cada sólido.
Passo 5
Para a peneiração, a abertura da peneira deve ser tal que as partículas de A fiquem retidas e as de B passem. Isso significa que o tamanho das partículas de A deve ser maior que a abertura da peneira, e o de B menor.
Assumindo que as partículas têm tamanhos diferentes, podemos relacionar isso com as velocidades de sedimentação. Vamos chamar a abertura da peneira de
.
A velocidade de sedimentação para cada sólido deve ser menor ou maior que a velocidade de elutriação
para que a separação ocorra.
Passo 6
Para a elutriação gravitacional, queremos que a velocidade de elutriação esteja entre as velocidades de sedimentação de A e B:
Assim, as partículas de A sedimentam e são separadas, enquanto as de B são levadas pelo fluido.
Passo 7
Vamos calcular as velocidades de sedimentação
e
.
Para o sólido A:
Para o sólido B:
Passo 8
Como queremos
, vamos escolher
como uma média das duas velocidades:
Isso garante que está entre as duas.
Passo 9
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Para A:
Para B:
Passo 10
Agora, definindo
como a média geométrica:
Passo 11
Para finalizar, a abertura da peneira
deve ser escolhida de forma que
esteja entre os diâmetros das partículas de A e B. Se assumirmos que
, podemos relacionar com os raios
e
.
Passo 12
Portanto, as aberturas das peneiras e as velocidades de elutriação para separar completamente os sólidos A e B são:
Resposta
As aberturas das peneiras devem ser escolhidas entre os diâmetros das partículas de A e B,
, e a velocidade de elutriação necessária para separar completamente os sólidos A e B é
.
Exercícios relacionados
Rotâmetros são equipamentos para a medição da vazão de fluidos, muito usados em instalações de pequeno porte (escalas piloto e de bancada). Basicamente, consistem de um tubo de vidro transparente em forma de tronco de cone, dentro do qual um corpo sólido, denominado flutuador (necessariamente mais denso que o fluido em escoamento), assume diferentes posições de equilíbrio na vertical, dependendo da vazão de fluido que o atravessa. Quanto maior for a vazão, mais elevada será a posição do flutuador no tubo. Em geral, há uma escala de vazões volumétricas impressa na parede externa do tubo de vidro que só vale para água (ou ar) a
e
(calibração de fábrica). Pede-se:
Explique a existência de diferentes posições de equilíbrio para o flutuador.
Explique a existência de diferentes posições de equilíbrio para o flutuador.
Uma partícula cilíndrica (
) cai com velocidade terminal em água a
e
, sob a ação do campo gravitacional terrestre. Nessas condições, pede-se:
Calcule a sua velocidade terminal;
Calcule a sua velocidade terminal;
Determinar as respectivas velocidades de elutriação para separar pó de diamante nas faixas
(diâmetro da esfera de igual volume que a partícula). A densidade do diamante é
e a esfericidade das partículas 0,7 . O fluido de arraste é água a
. Uma mistura finamente dividida de galena e calcário na proporção 1:4 em massa é sujeita à elutriação com corrente ascendente de água com velocidade de
. A distribuição granulométrica dos materiais é a mesma:
|
20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 100 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
15 | 28 | 43 | 54 | 64 | 72 | 78 | 88 |
Calcular a percentagem de galena no material arrastado e no produto de fundo. Galena: densidade
e esfericidade das partículas 0,8 . Calcário: densidade
e esfericidade das partículas 0,7 . Temperatura da água:
.
No viscosímetro de Stokes (também conhecido como viscosímetro de bola), uma esfera lisa (em geral de aço inoxidável) de diâmetro
e densidade
cai, sob a ação do campo gravitacional terrestre e sob intenso efeito simétrico de parede cilíndrica, no interior de um tubo de vidro de diâmetro
, vertical, que contém um líquido de densidade
conhecida e viscosidade
desconhecida. A velocidade terminal de queda da esfera sob
Assim é que o catálogo HAAKETM Viscometers - Introduction to Practical Viscometry (1981) fornece para o viscosímetro de Stokes, de sua fabricação, a expressão , em que
é uma constante ligada à geometria do sistema. Como o viscosímetro é fornecido com diversas esferas,
tem um valor diferente para cada uma. Sabendo-se que o diâmetro interno do tubo é
, a distância
é
e o diâmetro de esfera é 11,10 mm (modificado de Massarani, 1984), pede-se: Determine o valor de
, se
é dado em
,
em segundos e as densidades em
.
Assim é que o catálogo HAAKETM Viscometers - Introduction to Practical Viscometry (1981) fornece para o viscosímetro de Stokes, de sua fabricação, a expressão