A moagem de um minério gera uma mistura de dois sólidos
e
(
e
), que devem ser separados completamente por meio de peneirações e elutriações gravitacionais sucessivas, usando-se água a
como fluido de elutriação. Supondo que as interações sólido-fluido das etapas de elutriação obedecem à lei de Stokes, pede-se:
Calcule as aberturas de peneiras e as velocidades de elutriação que permitam efetuar a separação desejada.
Calcule as aberturas de peneiras e as velocidades de elutriação que permitam efetuar a separação desejada.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui! A gente tem uma mistura de dois sólidos, o A e o B, com gravidades específicas de 1,5 e 2,7, respectivamente. O objetivo é separar esses dois usando peneiras e elutriação gravitacional com água a 20°C. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Stokes, que nos ajuda a calcular as velocidades de sedimentação das partículas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a densidade dos sólidos A e B. A gravidade específica (SG) é a razão entre a densidade do sólido e a densidade da água. Sabendo que a densidade da água a 20°C é aproximadamente
, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar a Lei de Stokes para relacionar o tamanho das partículas com as velocidades de sedimentação. A fórmula da Lei de Stokes é:
Onde:
-
é a velocidade terminal da partícula, -
é o raio da partícula, -
é a aceleração da gravidade, -
é a densidade da partícula, -
é a densidade do fluido (água), -
é a viscosidade dinâmica da água a 20°C.
Passo 4
Vamos rearranjar a fórmula para encontrar o raio das partículas:
Mas como queremos separar A e B, precisamos escolher aberturas de peneiras e velocidades de elutriação que permitam essa separação. Vamos definir duas velocidades críticas, uma para cada sólido.
Passo 5
Para a peneiração, a abertura da peneira deve ser tal que as partículas de A fiquem retidas e as de B passem. Isso significa que o tamanho das partículas de A deve ser maior que a abertura da peneira, e o de B menor.
Assumindo que as partículas têm tamanhos diferentes, podemos relacionar isso com as velocidades de sedimentação. Vamos chamar a abertura da peneira de
.
A velocidade de sedimentação para cada sólido deve ser menor ou maior que a velocidade de elutriação
para que a separação ocorra.
Passo 6
Para a elutriação gravitacional, queremos que a velocidade de elutriação esteja entre as velocidades de sedimentação de A e B:
Assim, as partículas de A sedimentam e são separadas, enquanto as de B são levadas pelo fluido.
Passo 7
Vamos calcular as velocidades de sedimentação
e
.
Para o sólido A:
Para o sólido B:
Passo 8
Como queremos
, vamos escolher
como uma média das duas velocidades:
Isso garante que está entre as duas.
Passo 9
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Para A:
Para B:
Passo 10
Agora, definindo
como a média geométrica:
Passo 11
Para finalizar, a abertura da peneira
deve ser escolhida de forma que
esteja entre os diâmetros das partículas de A e B. Se assumirmos que
, podemos relacionar com os raios
e
.
Passo 12
Portanto, as aberturas das peneiras e as velocidades de elutriação para separar completamente os sólidos A e B são:
Resposta
As aberturas das peneiras devem ser escolhidas entre os diâmetros das partículas de A e B,
, e a velocidade de elutriação necessária para separar completamente os sólidos A e B é
.