A moagem de um minério gera uma mistura de dois sólidos A e B ( SGA=1,5 e SGB=2,7 ), que devem ser separados completamente por meio de peneirações e elutriações gravitacionais sucessivas, usando-se água a 20^circ C como fluido de elutriação. Supondo que as interações sólido-fluido das etapas de elutriação obedecem à lei de Stokes, pede-se:
Calcule as aberturas de peneiras e as velocidades de elutriação que permitam efetuar a separação desejada.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que tá acontecendo aqui! A gente tem uma mistura de dois sólidos, o A e o B, com gravidades específicas de 1,5 e 2,7, respectivamente. O objetivo é separar esses dois usando peneiras e elutriação gravitacional com água a 20°C. Para isso, vamos precisar usar a Lei de Stokes, que nos ajuda a calcular as velocidades de sedimentação das partículas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade dos sólidos A e B. A gravidade específica (SG) é a razão entre a densidade do sólido e a densidade da água. Sabendo que a densidade da água a 20°C é aproximadamente rhoA = SGA times rhoágua = 1,5 times 1000 = 1500 , kg/m^3 á, temos:
rhoB = SGB times rhoágua = 2,7 times 1000 = 2700 , kg/m^3 á
á

Passo 3

Agora, vamos usar a Lei de Stokes para relacionar o tamanho das partículas com as velocidades de sedimentação. A fórmula da Lei de Stokes é:
v = 2 r^2 g (rhop - rhof)9 mu
Onde:
  • é a velocidade terminal da partícula,
  • é o raio da partícula,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a densidade da partícula,
  • é a densidade do fluido (água),
  • é a viscosidade dinâmica da água a 20°C.

Passo 4

Vamos rearranjar a fórmula para encontrar o raio das partículas:
r = raiz 9 mu v2 g (rhop - rhof)
Mas como queremos separar A e B, precisamos escolher aberturas de peneiras e velocidades de elutriação que permitam essa separação. Vamos definir duas velocidades críticas, uma para cada sólido.

Passo 5

Para a peneiração, a abertura da peneira deve ser tal que as partículas de A fiquem retidas e as de B passem. Isso significa que o tamanho das partículas de A deve ser maior que a abertura da peneira, e o de B menor.
Assumindo que as partículas têm tamanhos diferentes, podemos relacionar isso com as velocidades de sedimentação. Vamos chamar a abertura da peneira de .
A velocidade de sedimentação para cada sólido deve ser menor ou maior que a velocidade de elutriação para que a separação ocorra.

Passo 6

Para a elutriação gravitacional, queremos que a velocidade de elutriação esteja entre as velocidades de sedimentação de A e B:
vA < ve < vB
Assim, as partículas de A sedimentam e são separadas, enquanto as de B são levadas pelo fluido.

Passo 7

Vamos calcular as velocidades de sedimentação vA = 2 rA^2 g (rhoA - rhof)9 mu e vB = 2 rB^2 g (rhoB - rhof)9 mu .
Para o sólido A:
Para o sólido B:

Passo 8

Como queremos ve = raizvA times vB , vamos escolher como uma média das duas velocidades:
Isso garante que está entre as duas.

Passo 9

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Para A:
vA = 2 rA^2 times 9,81 times (1500 - 1000)9 times 1 times 10^-3 = 2 rA^2 times 9,81 times 5000,009 = 9810 rA^20,009 = 1.090.000 rA^2 , m/s
Para B:
vB = 2 rB^2 times 9,81 times (2700 - 1000)9 times 1 times 10^-3 = 2 rB^2 times 9,81 times 17000,009 = 33354 rB^20,009 = 3.705.000 rB^2 , m/s

Passo 10

Agora, definindo ve = raiz1.090.000 rA^2 times 3.705.000 rB^2 = raiz4.041.450.000 rA^2 rB^2 = 2.010.000 rA rB , m/s como a média geométrica:

Passo 11

Para finalizar, a abertura da peneira deve ser escolhida de forma que esteja entre os diâmetros das partículas de A e B. Se assumirmos que , podemos relacionar com os raios e .

Passo 12

Portanto, as aberturas das peneiras e as velocidades de elutriação para separar completamente os sólidos A e B são:
dp = 2 rp
ve = 2.010.000 rA rB , m/s

Resposta

As aberturas das peneiras devem ser escolhidas entre os diâmetros das partículas de A e B, , e a velocidade de elutriação necessária para separar completamente os sólidos A e B é .

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