Uma partícula cilíndrica ( D=1 mm, H=5 mm, SG=2,8 ) cai com velocidade terminal em água a 50^circ C e 1 atm, sob a ação do campo gravitacional terrestre. Nessas condições, pede-se:
Calcule a sua velocidade terminal;

Passo 1

Vamos resolver um exercício de física onde precisamos calcular a velocidade terminal de uma partícula cilíndrica que está caindo na água. O enunciado nos dá as seguintes informações:
  • Diâmetro da partícula ( D) = 1 mm
  • Altura da partícula ( H) = 5 mm
  • Gravidade específica ( SG) = 2,8
  • Temperatura da água = 50°C
  • Pressão = 1 atm
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de dinâmica de fluidos, como a força gravitacional, a força de arrasto e a viscosidade da água. Vamos calcular passo a passo para encontrar a velocidade terminal dessa partícula.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é velocidade terminal. Quando um objeto cai em um fluido, ele acelera até que a força para baixo (força gravitacional) seja igual à força para cima (força de arrasto). Nesse ponto, a velocidade do objeto se torna constante, e essa velocidade é chamada de velocidade terminal.

Passo 3

Vamos calcular a força gravitacional ( Fg) que age na partícula. Para isso, precisamos da massa da partícula e da aceleração da gravidade.
A massa ( m) pode ser encontrada usando a densidade. A gravidade específica ( SG) nos dá a relação entre a densidade da partícula ( rhop) e a densidade da água ( rhof):
rhop = SG times rhof
Sabemos que a densidade da água a 50°C é aproximadamente 0,988 , g/cm^3.
Então,
rhop = 2,8 times 0,988 , g/cm^3 = 2,7664 , g/cm^3
Convertendo para kg/m³:
rhop = 2766,4 , kg/m^3
Agora, vamos calcular o volume da partícula cilíndrica. O volume ( V) de um cilindro é dado por:
V = pi (D2)^2 times H
Convertendo D e H para metros:
D = 1 , mm = 0,001 , m
H = 5 , mm = 0,005 , m
Então,
V = pi (0,0012)^2 times 0,005 approx 1,9635 times 10^-8 , m^3
Agora, a massa:
m = rhop times V = 2766,4 , kg/m^3 times 1,9635 times 10^-8 , m^3 approx 5,43 times 10^-5 , kg
A força gravitacional:
Fg = m times g = 5,43 times 10^-5 , kg times 9,81 , m/s^2 approx 5,33 times 10^-4 , N

Passo 4

Agora, vamos calcular a força de arrasto ( Fd) que age na partícula. A força de arrasto para um objeto em movimento em um fluido é dada pela equação:
Fd = 12 times Cd times rhof times A times v^2
Onde:
  • Cd é o coeficiente de arrasto
  • rhof é a densidade do fluido
  • A é a área de seção transversal
  • v é a velocidade
Para objetos com formas simples e velociadades baixas, podemos simplificar usando a lei de Stokes:
Fd = 6 pi eta r v
Onde:
  • eta é a viscosidade dinâmica da água
  • r é o raio da partícula
  • v é a velocidade
A viscosidade da água a 50°C é aproximadamente 0,547 times 10^-3 , Pacdots.
O raio da partícula:
r = D2 = 0,0012 = 0,0005 , m
Então,
Fd = 6 pi times 0,547 times 10^-3 , Pacdots times 0,0005 , m times v
Fd approx 5,16 times 10^-6 times v

Passo 5

No equilíbrio terminal, a força gravitacional é igual à força de arrasto:
Fg = Fd
5,33 times 10^-4 , N = 5,16 times 10^-6 times v
Agora, resolvemos para v:
v = 5,33 times 10^-45,16 times 10^-6 approx 103,3 , m/s

Resposta

A velocidade terminal da partícula cil��ndrica é aproximadamente 103,3 , m/s.

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