A model of a harbor is made on the length ratio of 360: 1. Storm waves of 2 m amplitude and 8 m / s velocity occur on the breakwater of the prototype harbor. Significant variables are the length scale, velocity and g, the acceleration of gravity. The scaling of time can be made with the aid of the length scale and velocity scaling factors.
(a) Neglecting friction, what should be the size and speed of the waves in the model?
(b) If the time between tides in the prototype is 12 hr , what should be the tidal period in the model?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre modelagem de portos usando escalas. A gente tem que calcular o tamanho e a velocidade das ondas no modelo de um porto, além de descobrir o período das marés no modelo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de escala de comprimento, velocidade e aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a escala de comprimento. O problema diz que a escala é de 360:1, ou seja, 360 vezes menor no modelo do que no porto real. Isso significa que qualquer dimensão linear no porto real será dividida por 360 para encontrar a dimensão no modelo.

Passo 3

Agora, vamos calcular o tamanho das ondas no modelo. A amplitude das ondas no porto real é de 2 metros. Usando a escala de comprimento:
Amplitude no modelo = 2 , m360 = 1180 , m approx 0,00556 , m ou 5,56 , mm

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a velocidade das ondas no modelo. A velocidade no porto real é de 8 , m/s. A escala de velocidade é a escala de comprimento dividida pela escala de tempo. Como ainda não sabemos a escala de tempo, vamos deixar isso para o próximo passo.

Passo 5

Para encontrar a escala de tempo, usamos a relação que envolve a aceleração da gravidade g. A escala de tempo ( St) está relacionada com a escala de comprimento ( SL) e a escala de velocidade ( SV) pela fórmula:
St = SLSV
Mas também sabemos que:
SV = raizSL
Então, substituindo:
St = 360raiz360 = raiz360 approx 18,97

Passo 6

Agora que temos a escala de tempo, podemos calcular a velocidade das ondas no modelo. A escala de velocidade é a escala de comprimento dividida pela escala de tempo:
SV = 36018,97 approx 18,97 , m/s
No entanto, essa velocidade está no modelo. Como estamos trabalhando com escalas, a velocidade no modelo será:
Velocidade no modelo = 8 , m/s360 approx 0,0222 , m/s

Resposta

(a) No modelo, as ondas têm amplitude de aproximadamente 0,00556 , m (5,56 mm) e velocidade de 0,0222 , m/s.
(b) O período das marés no modelo é de aproximadamente 0,333 , horas (20 minutos).

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