The rate at which metallic ions are electroplated from a dilute electrolytic solution onto a rotating disk electrode is usually governed by the mass diffusion rate of ions to the disk. This process is believed to be controlled by the following variables:

Dimensions

k= mass transfer coefficient L / t
D= diffusion coefficient L^2 / t
d= disk diameter L
a= angular velocity 1 / t
rho= density M / L^3
mu= viscosity M / L t
Obtain the set of dimensionless groups for these variables, where k, mu, and D are kept in separate groups. How would you accumulate and present the experimental data for this system?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma situação envolvendo a eletrodeposição de íons metálicos numa solução eletrolítica diluída, usando um eletrodo de disco giratório. O que precisamos fazer aqui é encontrar um conjunto de grupos adimensionais para as variáveis fornecidas, mantendo , e em grupos separados. Além disso, precisamos pensar em como organizar e apresentar os dados experimentais desse sistema. Para resolver isso, vamos precisar usar a análise dimensional e o Teorema de Buckingham π.

Passo 2

Primeiro, vamos listar as variáveis que temos e suas dimensões:
  • (coeficiente de transferência de massa):
  • (coeficiente de difusão):
  • (diâmetro do disco):
  • (velocidade angular):
  • (densidade):
  • (viscosidade):
Aqui, representa massa, comprimento e tempo.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Buckingham π, que nos ajuda a encontrar grupos adimensionais. A fórmula geral é:
pi = (variáveis)produto das variáveis de base áá
Primeiro, identificamos as dimensões fundamentais envolvidas: Massa ( Número de grupos = Número de variáveis - Número de dimensões fundamentais = 6 - 3 = 3 ), Comprimento ( ) e Tempo ( ). Temos 3 dimensões fundamentais e 6 variáveis, então o número de grupos adimensionais será:
úúáúõ

Passo 4

Vamos escolher as variáveis de base. Geralmente, escolhemos aquelas que cobrem todas as dimensões fundamentais. Vamos escolher Base = d, rho, a (comprimento), (massa) e (tempo):

Passo 5

Agora, expressamos as outras variáveis [k] = Lt = d^1 rho^0 a^1 , pi1 = kd cdot a e [D] = L^2t = d^2 rho^0 a^1 em termos dessas bases:
  1. Para pi2 = Dd^2 cdot a :
[mu] = ML t = d^-1 rho^1 a^1
Assim, podemos escrever:
pi3 = murho cdot d cdot a
  1. Para :
Então:
  1. Para :
Portanto:

Passo 6

Agora, temos nossos grupos adimensionais:
pi1 = kd cdot a
pi2 = Dd^2 cdot a
pi3 = murho cdot d cdot a
Esses grupos nos ajudam a entender como as variáveis se relacionam sem depender das unidades usadas.

Passo 7

Para acumular e apresentar os dados experimentais desse sistema, a gente deve organizar as medições em termos desses grupos adimensionais. Isso facilita a comparação entre diferentes experimentos e ajuda a identificar como cada fator influencia o processo de eletrodeposição.
Por exemplo, podemos criar tabelas ou gráficos onde cada eixo representa um dos grupos , e , permitindo visualizar as relações e tendências de forma clara e sem as complicações das unidades.

Resposta

Os grupos adimensionais obtidos são:
pi1 = kd cdot a, pi2 = Dd^2 cdot a, pi3 = murho cdot d cdot a
Para acumular e apresentar os dados experimentais, deve-se organizar as medições em termos desses grupos adimensionais, utilizando tabelas ou gráficos que relacionem , e , facilitando a análise e comparação dos resultados.

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