The pressure rise across a pump P (this term is proportional to the head developed by the pump) may be considered to be affected by the fluid density rho, the angular velocity omega, the impeller diameter D, the volumetric rate of flow Q, and the fluid viscosity mu. Find the pertinent dimensionless groups, choosing them so the P, Q, and mu each appear in one group only. Find similar expressions, replacing the pressure rise first by the power input to the pump, then by the efficiency of the pump.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a elevação de pressão em uma bomba, representada por , é influenciada por várias coisas: a densidade do fluido ( ), a velocidade angular ( ), o diâmetro do impulsor ( ), a taxa volumétrica de fluxo ( ) e a viscosidade do fluido ( ). A gente vai usar a análise dimensional para encontrar grupos adimensionais, garantindo que , e apareçam em apenas um grupo cada. Depois, vamos fazer o mesmo trocando pela potência de entrada na bomba e depois pela eficiência da bomba. Para isso, vamos precisar entender um pouco de teoria sobre análise dimensional e grupos adimensionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a reduzir a quantidade de variáveis em um problema físico, formando grupos adimensionais chamados de grupos. A ideia é combinar as variáveis dadas de forma que as dimensões se cancelam, resultando em números puros (sem unidades).

Passo 3

Identificamos as variáveis envolvidas e suas dimensões:
  • (elevação de pressão):
  • (densidade):
  • (velocidade angular):
  • (diâmetro do impulsor):
  • (taxa volumétrica de fluxo):
  • (viscosidade):

Passo 4

Determina-se o número de grupos adimensionais ( Número de Pi = Número de variáveis - Número de dimensões fundamentais ) usando a fórmula:
Número de Pi = 6 - 3 = 3 úúáúõ
Temos 6 variáveis e 3 dimensões fundamentais (M, L, T), então:
ú
Então, teremos 3 grupos adimensionais.

Passo 5

Escolhemos como variáveis repetidas aquelas que contêm todas as dimensões fundamentais. Geralmente, escolhemos , e . As demais variáveis serão expressas em função dessas.

Passo 6

Formamos os grupos Pi1 = P cdot rho^a cdot omega^b cdot D^c de forma que cada um seja adimensional. Vamos garantir que Pi1 = Prho omega^2 D^2 , Pi2 = Q cdot rho^a cdot omega^b cdot D^c e Pi2 = Q omegaD^3 apareçam em apenas um grupo cada.
  1. Para Pi3 = mu cdot rho^a cdot omega^b cdot D^c :
Pi3 = murho omega D^2
Buscamos , , tais que seja adimensional. Resolvendo as equações de equilíbrio de dimensões, encontramos:
  1. Para :
Novamente, ajustamos , , para ser adimensional:
  1. Para :
Após resolver, temos:

Passo 7

Agora, substituímos a elevação de pressão Pi1' = Potênciarho omega^3 D^5 pela potência de entrada na bomba Pi2' = Q omegaD^3 ê e depois pela eficiência Pi3' = murho omega D^2 .
  1. Substituindo por Potência Pi1'' = eta cdot rho omega^2 D^2 ê:
Pi2'' = Q omegaD^3 ê
Pi3'' = murho omega D^2
  1. Substituindo por Eficiência :

Resposta

Os grupos adimensionais pertinentes são:
Para a elevação de pressão Pi1 = Prho omega^2 D^2, Pi2 = Q omegaD^3, Pi3 = murho omega D^2 :
Pi1' = Potênciarho omega^3 D^5, Pi2' = Q omegaD^3, Pi3' = murho omega D^2
Substituindo Pi1'' = eta cdot rho omega^2 D^2, Pi2'' = Q omegaD^3, Pi3'' = murho omega D^2 pela potência de entrada na bomba:
ê
Substituindo pela eficiência da bomba :

Exercícios relacionados