The pressure rise across a pump
(this term is proportional to the head developed by the pump) may be considered to be affected by the fluid density
, the angular velocity
, the impeller diameter
, the volumetric rate of flow
, and the fluid viscosity
. Find the pertinent dimensionless groups, choosing them so the
, and
each appear in one group only. Find similar expressions, replacing the pressure rise first by the power input to the pump, then by the efficiency of the pump.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a elevação de pressão em uma bomba, representada por
, é influenciada por várias coisas: a densidade do fluido (
), a velocidade angular (
), o diâmetro do impulsor (
), a taxa volumétrica de fluxo (
) e a viscosidade do fluido (
). A gente vai usar a análise dimensional para encontrar grupos adimensionais, garantindo que
,
e
apareçam em apenas um grupo cada. Depois, vamos fazer o mesmo trocando
pela potência de entrada na bomba e depois pela eficiência da bomba. Para isso, vamos precisar entender um pouco de teoria sobre análise dimensional e grupos adimensionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Buckingham Pi, que nos ajuda a reduzir a quantidade de variáveis em um problema físico, formando grupos adimensionais chamados de
grupos. A ideia é combinar as variáveis dadas de forma que as dimensões se cancelam, resultando em números puros (sem unidades).
Passo 3
Identificamos as variáveis envolvidas e suas dimensões:
-
(elevação de pressão): -
(densidade): -
(velocidade angular): -
(diâmetro do impulsor): -
(taxa volumétrica de fluxo): -
(viscosidade):
Passo 4
Determina-se o número de grupos adimensionais (
) usando a fórmula:
Temos 6 variáveis e 3 dimensões fundamentais (M, L, T), então:
Então, teremos 3 grupos adimensionais.
Passo 5
Escolhemos como variáveis repetidas aquelas que contêm todas as dimensões fundamentais. Geralmente, escolhemos
,
e
. As demais variáveis serão expressas em função dessas.
Passo 6
Formamos os grupos
de forma que cada um seja adimensional. Vamos garantir que
,
e
apareçam em apenas um grupo cada.
- Para
:
Buscamos
,
,
tais que
seja adimensional. Resolvendo as equações de equilíbrio de dimensões, encontramos:
- Para
:
Novamente, ajustamos
,
,
para ser adimensional:
- Para
:
Após resolver, temos:
Passo 7
Agora, substituímos a elevação de pressão
pela potência de entrada na bomba
e depois pela eficiência
.
- Substituindo por Potência
:
- Substituindo por Eficiência
:
Resposta
Os grupos adimensionais pertinentes são:
Para a elevação de pressão
:
Substituindo
pela potência de entrada na bomba:
Substituindo
pela eficiência da bomba
: