Use os conceitos de projeção e norma de vetores para determinar a distância do ponto
à reta
que passa pelos pontos
e
nos casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar os conceitos de projeção e norma de vetores para encontrar a distância do ponto
até a reta
que passa pelos pontos
e
. Isso envolve trabalhar com vetores e entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um vetor. Imagine que você tem dois vetores: um que vai de
até
(vamos chamar de
) e outro que vai de
até
(chamaremos de
). A projeção de
sobre
nos mostra o quanto de
está alinhado com
.
A fórmula da projeção de
sobre
é:
Onde
é o produto escalar dos vetores e
é a norma (ou comprimento) do vetor
.
Passo 3
Agora, a norma de um vetor é simplesmente o comprimento desse vetor. Para um vetor
, a norma é calculada por:
Essa norma nos ajuda a determinar a distância real entre dois pontos ou a magnitude de um vetor.
Passo 4
Para encontrar a distância do ponto
até a reta
, seguimos esses passos:
-
Calcular os vetores
e : -
Encontrar a projeção de
sobre : -
Calcular o vetor que vai do ponto
até a reta (isso é, o vetor perpendicular à reta): Ondeé o ponto na reta que está mais próximo de . -
Encontrar a distância, que é a norma de
:
Passo 5
Vamos aplicar isso com um exemplo numérico para clarear! Suponha que:
Passo 5.1: Calculamos
e
:
Passo 5.2: Calculamos a projeção de
sobre
:
Passo 5.3: Calculamos
:
Passo 5.4: A distância é:
Resposta
A distância do ponto
à reta
que passa pelos pontos
e
é 0 unidades.