Use os conceitos de projeção e norma de vetores para determinar a distância do ponto à reta que passa pelos pontos e nos casos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar os conceitos de projeção e norma de vetores para encontrar a distância do ponto até a reta que passa pelos pontos e . Isso envolve trabalhar com vetores e entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um vetor. Imagine que você tem dois vetores: um que vai de até (vamos chamar de ) e outro que vai de até (chamaremos de ). A projeção de sobre nos mostra o quanto de está alinhado com .
A fórmula da projeção de sobre é:
Onde é o produto escalar dos vetores e é a norma (ou comprimento) do vetor .
Passo 3
Agora, a norma de um vetor é simplesmente o comprimento desse vetor. Para um vetor , a norma é calculada por:
Essa norma nos ajuda a determinar a distância real entre dois pontos ou a magnitude de um vetor.
Passo 4
Para encontrar a distância do ponto até a reta , seguimos esses passos:
Calcular os vetores e :
Encontrar a projeção de sobre :
Calcular o vetor que vai do ponto até a reta (isso é, o vetor perpendicular à reta):
Onde é o ponto na reta que está mais próximo de .
Encontrar a distância, que é a norma de :
Passo 5
Vamos aplicar isso com um exemplo numérico para clarear! Suponha que:
Passo 5.1: Calculamos e :
Passo 5.2: Calculamos a projeção de sobre :
Passo 5.3: Calculamos :
Passo 5.4: A distância é:
Resposta
A distância do ponto à reta que passa pelos pontos e é 0 unidades.