Use os conceitos de projeção e norma de vetores para determinar a distância do ponto à reta que passa pelos pontos e nos casos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar os conceitos de projeção e norma de vetores para encontrar a distância do ponto até a reta que passa pelos pontos e . Isso envolve trabalhar com vetores e entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um vetor. Imagine que você tem dois vetores: um que vai de até (vamos chamar de ) e outro que vai de até (chamaremos de ). A projeção de sobre nos mostra o quanto de está alinhado com .
A fórmula da projeção de sobre é:
Onde é o produto escalar dos vetores e é a norma (ou comprimento) do vetor .

Passo 3

Agora, a norma de um vetor é simplesmente o comprimento desse vetor. Para um vetor , a norma é calculada por:
Essa norma nos ajuda a determinar a distância real entre dois pontos ou a magnitude de um vetor.

Passo 4

Para encontrar a distância do ponto até a reta , seguimos esses passos:
  1. Calcular os vetores e :
  2. Encontrar a projeção de sobre :
  3. Calcular o vetor que vai do ponto até a reta (isso é, o vetor perpendicular à reta):
    Onde é o ponto na reta que está mais próximo de .
  4. Encontrar a distância, que é a norma de :
    â

Passo 5

Vamos aplicar isso com um exemplo numérico para clarear! Suponha que:
Passo 5.1: Calculamos e :
Passo 5.2: Calculamos a projeção de sobre :
Passo 5.3: Calculamos :
Passo 5.4: A distância é:

Resposta

A distância do ponto à reta que passa pelos pontos e é 0 unidades.

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