Use os conceitos de projeção e norma de vetores para determinar a distância do ponto P à reta r que passa pelos pontos A e B nos casos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar os conceitos de projeção e norma de vetores para encontrar a distância do ponto até a reta que passa pelos pontos e . Isso envolve trabalhar com vetores e entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a projeção de um vetor. Imagine que você tem dois vetores: um que vai de Projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v até (vamos chamar de ) e outro que vai de até (chamaremos de ). A projeção de sobre nos mostra o quanto de está alinhado com .
A fórmula da projeção de sobre é:
Onde é o produto escalar dos vetores e é a norma (ou comprimento) do vetor .

Passo 3

Agora, a norma de um vetor é simplesmente o comprimento desse vetor. Para um vetor |v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2 , a norma é calculada por:
Essa norma nos ajuda a determinar a distância real entre dois pontos ou a magnitude de um vetor.

Passo 4

Para encontrar a distância do ponto AB = B - A até a reta AP = P - A , seguimos esses passos:
  1. Calcular os vetores ProjAB AP = ( AP cdot AB|AB|^2 ) AB e PQ = AP - ProjAB AP :
    Distância = |PQ|
  2. Encontrar a projeção de sobre :
  3. Calcular o vetor que vai do ponto até a reta (isso é, o vetor perpendicular à reta):
    Onde é o ponto na reta que está mais próximo de .
  4. Encontrar a distância, que é a norma de :
    â

Passo 5

Vamos aplicar isso com um exemplo numérico para clarear! Suponha que:
  • AB = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)
  • AP = (7-1, 8-2, 9-3) = (6, 6, 6)
  • AP cdot AB = 6 times 3 + 6 times 3 + 6 times 3 = 54
Passo 5.1: Calculamos |AB|^2 = 3^2 + 3^2 + 3^2 = 27 e ProjAB AP = ( 5427 ) AB = 2 times (3, 3, 3) = (6, 6, 6) :
PQ = AP - ProjAB AP = (6, 6, 6) - (6, 6, 6) = (0, 0, 0)
|PQ| = raiz0^2 + 0^2 + 0^2 = 0
Passo 5.2: Calculamos a projeção de sobre :
Passo 5.3: Calculamos :
Passo 5.4: A distância é:

Resposta

A distância do ponto à reta que passa pelos pontos e é 0 unidades.

Exercícios relacionados