Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
sen(y) + (1 - cos(t)) y' = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é separável. O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais separáveis, que são aquelas onde conseguimos separar as variáveis e para integrar de forma independente. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação de maneira que todos os termos com fiquem de um lado e os com do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação original:
Então, dividimos ambos os lados por para resolver para :

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todos os termos com de um lado e os com do outro:
Dessa forma, temos:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, o lado esquerdo:
Agora, o lado direito:
Para resolver essa integral, usamos a identidade trigonométrica :
Sabemos que , então substituindo:

Passo 5

Igualando as integrais dos dois lados:
Podemos combinar as constantes e em uma única constante :

Passo 6

Para simplificar a solução, podemos isolar :
Onde é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante de integração.

Exercícios relacionados