Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar um fator integrante para transformar uma equação diferencial em exata e, assim, resolvê-la. A equação que temos é:
Além disso, foi dado o fator integrante:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como os fatores integrantes ajudam a torná-las exatas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que fique mais fácil de identificar as partes
e
da equação diferencial:
Podemos rearranjar isso para:
E então:
Mas para aplicar o fator integrante, é melhor manter a forma original:
Aqui, identificamos
e
para usar na equação exata.
Passo 3
Agora, vamos lembrar que uma equação diferencial do tipo:
é exata se:
No nosso caso, rearranjamos a equação para:
Podemos reescrever isso como:
Então, temos:
Vamos verificar se a equação é exata:
Como
, a equação não é exata. Por isso, precisamos usar o fator integrante
para torná-la exata.
Passo 4
Vamos multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Substituindo
,
e
:
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata.
Passo 5
Calculando as derivadas parciais novamente:
Nova
Nova
Nova
Calculamos:
Após simplificação, vemos que:
Portanto, a equação agora é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Simplificando a fração:
Vamos resolver essas integrais:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Então, a função
é:
Passo 7
A solução geral da equação diferencial exata é:
Então:
Podemos rearranjar para deixar
de forma mais explícita, se necessário:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
.
Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
.
Modele e resolva os problemas abaixo.
A velocidade angular de uma polia é . Quantas voltas dará antes de parar?
A velocidade angular de uma polia é