Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar um fator integrante para transformar uma equação diferencial em exata e, assim, resolvê-la. A equação que temos é:
Além disso, foi dado o fator integrante:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais exatas e como os fatores integrantes ajudam a torná-las exatas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de uma forma que fique mais fácil de identificar as partes e da equação diferencial:
Podemos rearranjar isso para:
E então:
Mas para aplicar o fator integrante, é melhor manter a forma original:
Aqui, identificamos e para usar na equação exata.

Passo 3

Agora, vamos lembrar que uma equação diferencial do tipo:
é exata se:
No nosso caso, rearranjamos a equação para:
Podemos reescrever isso como:
Então, temos:
Vamos verificar se a equação é exata:
Como , a equação não é exata. Por isso, precisamos usar o fator integrante para torná-la exata.

Passo 4

Vamos multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Substituindo , e :
Simplificando:
Agora, vamos verificar se a nova equação é exata.

Passo 5

Calculando as derivadas parciais novamente:
Nova
Nova
Calculamos:
Após simplificação, vemos que:
Portanto, a equação agora é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Vamos encontrar integrando em relação a :
Simplificando a fração:
Vamos resolver essas integrais:
Para a primeira integral:
Para a segunda integral:
Então, a função é:

Passo 7

A solução geral da equação diferencial exata é:
Então:
Podemos rearranjar para deixar de forma mais explícita, se necessário:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
.
Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
.
Modele e resolva os problemas abaixo.
A velocidade angular de uma polia é . Quantas voltas dará antes de parar?