Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
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Passo 1
Beleza, então a gente tem uma equação diferencial que precisa resolver usando o método dos fatores integrantes. A matéria aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de equações exatas. Vamos precisar aplicar um fator integrante específico para transformar a equação dada em uma equação exata e, assim, encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
E o fator integrante que nos foi dado é:
Passo 3
O próximo passo é multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante
para tornar a equação exata. Isso significa que, após a multiplicação, a equação poderá ser escrita na forma exata, ou seja, como a derivada de uma função de duas variáveis.
Multiplicando a equação original por
:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos simplificar cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos reorganizar os termos para identificar a exatidão da equação:
Multiplicando os termos:
Podemos combinar os termos que envolvem
:
Isso nos permite identificar uma forma exata onde podemos integrar em relação a
e
.
Passo 6
Como a equação é exata após a multiplicação pelo fator integrante, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Onde
e
são os coeficientes da equação exata. Integrando
em relação a
e
em relação a
, obtemos a função
.
Passo 7
Finalmente, igualamos a função potencial a uma constante
para obter a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
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Modele e resolva os problemas abaixo.
A velocidade angular de uma polia é . Quantas voltas dará antes de parar?
A velocidade angular de uma polia é
Resolver as seguintes equações diferenciais (por qualquer método). Note que todas são separáveis. As 5 primeiras são exercícios de integração.
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