Utilize dos fatores integrantes para transformar as equações diferenciais em equações exatas e resolva-as.
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Passo 1

Beleza, então a gente tem uma equação diferencial que precisa resolver usando o método dos fatores integrantes. A matéria aqui envolve equações diferenciais de primeira ordem e o conceito de equações exatas. Vamos precisar aplicar um fator integrante específico para transformar a equação dada em uma equação exata e, assim, encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial que temos:
E o fator integrante que nos foi dado é:

Passo 3

O próximo passo é multiplicar toda a equação diferencial pelo fator integrante para tornar a equação exata. Isso significa que, após a multiplicação, a equação poderá ser escrita na forma exata, ou seja, como a derivada de uma função de duas variáveis.
Multiplicando a equação original por :
Substituindo :

Passo 4

Vamos simplificar cada termo:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos reorganizar os termos para identificar a exatidão da equação:
Multiplicando os termos:
Podemos combinar os termos que envolvem :
Isso nos permite identificar uma forma exata onde podemos integrar em relação a e .

Passo 6

Como a equação é exata após a multiplicação pelo fator integrante, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Onde e são os coeficientes da equação exata. Integrando em relação a e em relação a , obtemos a função .

Passo 7

Finalmente, igualamos a função potencial a uma constante para obter a solução geral da equação diferencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde é uma constante arbitrária.

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