O modelo de Bohr foi uma tentativa, com sucesso, de descrever o átomo com um núcleo e cercado por elétrons em órbita circular. Este modelo desenvolvido por Bohr apresentava concordância quantitativa precisa com alguns dos dados espectroscópicos. Usando os postulados de Bohr, demonstre que a quantização do momento angular orbital do elétron implica na quantização da energia total. Use este modelo para calcular a energia de ionização do átomo de Hélio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o modelo de Bohr, que descreve o átomo com um núcleo e elétrons circulando em órbitas. A primeira parte quer que a gente mostre que, segundo Bohr, se o momento angular do elétron é quantizado, então a energia total também é quantizada. Depois, tem que calcular a energia de ionização do hélio usando esse modelo. Pra resolver isso, vamos precisar entender os postulados de Bohr, as fórmulas de momento angular e energia no modelo de Bohr, e aplicar isso no átomo de hélio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é o postulado de Bohr sobre o momento angular. Bohr disse que o momento angular ( L = nhbar ) do elétron em órbita é quantizado e pode ser expresso por:
Aqui, é o número quântico principal (1, 2, 3, …) e é a constante de Planck reduzida ( ).

Passo 3

Agora, vamos relacionar o momento angular com a velocidade do elétron. O momento angular também pode ser escrito como:
L = me v r
Onde:
  • me v r = nhbar é a massa do elétron,
  • é a velocidade do elétron,
  • é o raio da órbita.
Igualando as duas expressões para :

Passo 4

Sabemos que a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força eletrostática entre o elétron e o núcleo. A força eletrostática ( F = ke^2r^2 ) é dada por:
F = me v^2r
Onde me v^2r = ke^2r^2 é a constante eletrostática ( me v^2 = ke^2r ) e é a carga do elétron.
A força centrípeta é:
Igualando as duas forças:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos relacionar a velocidade v = nhbarme r com o momento angular quantizado. Da equação do Passo 3:
me ( nhbarme r )^2 = ke^2r
Substituindo na equação do Passo 4:
n^2 hbar^2me r^2 = ke^2r
Simplificando:
n^2 hbar^2 = ke^2 r cdot me
Multiplicando ambos os lados por r = n^2 hbar^2k me e^2 :
Finalmente, isolando :

Passo 6

Vamos agora calcular a energia total do elétron, que é a soma da energia cinética ( E = Ec + Ep ) e da energia potencial ( Ec = 12 me ( nhbarme r )^2 = n^2 hbar^22 me r^2 ):
Ep = -ke^2r
Sabemos que:
  • Energia cinética: Ec = ke^22 r
  • Energia potencial: E = ke^22 r - ke^2r = -ke^22 r
Substituindo da equação do Passo 3:
E a energia potencial:
Usando a relação entre e do Passo 5, e substituindo na expressão de :
Então, a energia total fica:
Como está quantizado, a energia total também fica quantizada, dependendo de .

Passo 7

Agora, vamos calcular a energia de ionização do átomo de Hélio ( E = -Z^2 ke^22 r ). Considerando que o Hélio tem r = n^2 hbar^2k me Z e^2 prótons no núcleo, a energia de ionização para r = hbar^24 k me e^2 é dada por:
E = -4 ke^22 r = -2 ke^2r
Sabemos que para o Hélio:
E = -2 ke^2hbar^24 k me e^2 = -8 k^2 me e^4hbar^2
Substituindo e :
A energia de ionização é então:
Substituindo :
Calculando os valores numéricos:
Sabemos que a energia de ionização do Hélio é aproximadamente .

Resposta

A energia de ionização do átomo de Hélio, segundo o modelo de Bohr, é aproximadamente .

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