O modelo de Bohr foi uma tentativa, com sucesso, de descrever o átomo com um núcleo e cercado por elétrons em órbita circular. Este modelo desenvolvido por Bohr apresentava concordância quantitativa precisa com alguns dos dados espectroscópicos. Usando os postulados de Bohr, demonstre que a quantização do momento angular orbital do elétron implica na quantização da energia total. Use este modelo para calcular a energia de ionização do átomo de Hélio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o modelo de Bohr, que descreve o átomo com um núcleo e elétrons circulando em órbitas. A primeira parte quer que a gente mostre que, segundo Bohr, se o momento angular do elétron é quantizado, então a energia total também é quantizada. Depois, tem que calcular a energia de ionização do hélio usando esse modelo. Pra resolver isso, vamos precisar entender os postulados de Bohr, as fórmulas de momento angular e energia no modelo de Bohr, e aplicar isso no átomo de hélio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é o postulado de Bohr sobre o momento angular. Bohr disse que o momento angular (
) do elétron em órbita é quantizado e pode ser expresso por:
Aqui,
é o número quântico principal (1, 2, 3, …) e
é a constante de Planck reduzida (
).
Passo 3
Agora, vamos relacionar o momento angular com a velocidade do elétron. O momento angular também pode ser escrito como:
Onde:
-
é a massa do elétron, -
é a velocidade do elétron, -
é o raio da órbita.
Igualando as duas expressões para
:
Passo 4
Sabemos que a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força eletrostática entre o elétron e o núcleo. A força eletrostática (
) é dada por:
Onde
é a constante eletrostática (
) e
é a carga do elétron.
A força centrípeta é:
Igualando as duas forças:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos relacionar a velocidade
com o momento angular quantizado. Da equação do Passo 3:
Substituindo na equação do Passo 4:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, isolando
:
Passo 6
Vamos agora calcular a energia total do elétron, que é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
):
Sabemos que:
- Energia cinética:
- Energia potencial:
Substituindo
da equação do Passo 3:
E a energia potencial:
Usando a relação entre
e
do Passo 5, e substituindo na expressão de
:
Então, a energia total fica:
Como
está quantizado, a energia total também fica quantizada, dependendo de
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a energia de ionização do átomo de Hélio (
). Considerando que o Hélio tem
prótons no núcleo, a energia de ionização para
é dada por:
Sabemos que para o Hélio:
Substituindo
e
:
A energia de ionização é então:
Substituindo
:
Calculando os valores numéricos:
Sabemos que a energia de ionização do Hélio é aproximadamente
.
Resposta
A energia de ionização do átomo de Hélio, segundo o modelo de Bohr, é aproximadamente
.