O modelo de Bohr foi uma tentativa, com sucesso, de descrever o átomo com um núcleo e cercado por elétrons em órbita circular. Este modelo desenvolvido por Bohr apresentava concordância quantitativa precisa com alguns dos dados espectroscópicos. Usando os postulados de Bohr, demonstre que a quantização do momento angular orbital do elétron implica na quantização da energia total. Use este modelo para calcular a energia de ionização do átomo de Hélio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente usar o modelo de Bohr, que descreve o átomo com um núcleo e elétrons circulando em órbitas. A primeira parte quer que a gente mostre que, segundo Bohr, se o momento angular do elétron é quantizado, então a energia total também é quantizada. Depois, tem que calcular a energia de ionização do hélio usando esse modelo. Pra resolver isso, vamos precisar entender os postulados de Bohr, as fórmulas de momento angular e energia no modelo de Bohr, e aplicar isso no átomo de hélio.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é o postulado de Bohr sobre o momento angular. Bohr disse que o momento angular (
) do elétron em órbita é quantizado e pode ser expresso por:
Aqui,
é o número quântico principal (1, 2, 3, …) e
é a constante de Planck reduzida (
).
Passo 3
Agora, vamos relacionar o momento angular com a velocidade do elétron. O momento angular também pode ser escrito como:
Onde:
-
é a massa do elétron, -
é a velocidade do elétron, -
é o raio da órbita.
Igualando as duas expressões para
:
Passo 4
Sabemos que a força centrípeta que mantém o elétron na órbita é fornecida pela força eletrostática entre o elétron e o núcleo. A força eletrostática (
) é dada por:
Onde
é a constante eletrostática (
) e
é a carga do elétron.
A força centrípeta é:
Igualando as duas forças:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos relacionar a velocidade
com o momento angular quantizado. Da equação do Passo 3:
Substituindo na equação do Passo 4:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Finalmente, isolando
:
Passo 6
Vamos agora calcular a energia total do elétron, que é a soma da energia cinética (
) e da energia potencial (
):
Sabemos que:
- Energia cinética:
- Energia potencial:
Substituindo
da equação do Passo 3:
E a energia potencial:
Usando a relação entre
e
do Passo 5, e substituindo na expressão de
:
Então, a energia total fica:
Como
está quantizado, a energia total também fica quantizada, dependendo de
.
Passo 7
Agora, vamos calcular a energia de ionização do átomo de Hélio (
). Considerando que o Hélio tem
prótons no núcleo, a energia de ionização para
é dada por:
Sabemos que para o Hélio:
Substituindo
e
:
A energia de ionização é então:
Substituindo
:
Calculando os valores numéricos:
Sabemos que a energia de ionização do Hélio é aproximadamente
.
Resposta
A energia de ionização do átomo de Hélio, segundo o modelo de Bohr, é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
No átomo de Lítio
, dois elétrons estão na órbita
e o terceiro na órbita
. Apenas dois elétrons podem ocupar a órbita
por causa do princípio de exclusão de Pauli. O valor aproximado da energia de interação entre os elétrons internos e o elétron externo pode ser obtido escrevendo a energia do elétron externo na forma
onde
e
é a carga nuclear efetiva, que é menor do que 3 por causa do efeito de blindagem dos dois elétrons internos. Use o valor experimental da energia de ionização do átomo de lítio, 4,39 eV, para calcular
.
Mostre que a equação
para o raio da primeira órbita de Bohr e a equação
para o valor absoluto da energia do nível fundamental do átomo de hidrogênio podem ser escritas na forma
onde
é o comprimento de onda Compton do elétron e
é a constante de estrutura fina. Use as expressões para verificar se os valores numéricos das constantes
e
estão corretos.
a) Qual o princípio da técnica de cromatografia em papel?
b) Para identificar substâncias presentes em uma amostra empregando cromatografia em papel, deve-se levar em consideração o fator de retenção ( ) destas, propriedade que varia de acordo com os materiais empregados no experimento, como a fase móvel, a fase estacionária e o suporte da fase estacionária. Após a eluição de uma amostra contendo cátions metálicos foram obtidas as seguintes distâncias percorridas pelos solutos da amostra dos padrões.
b) Para identificar substâncias presentes em uma amostra empregando cromatografia em papel, deve-se levar em consideração o fator de retenção (
Qual é o resultado esperado para a reação de eliminação do (
)-2-bromo-3-fenilbutano pelo mecanismo de reação E2? O resultado seria o mesmo se a reação ocorresse só pelo mecanismo de reação E1?
(2S,3R)-2-bromo-3-fenilbutano
(2S,3R)-2-bromo-3-fenilbutano