Mostre que a equação
para o raio da primeira órbita de Bohr e a equação
para o valor absoluto da energia do nível fundamental do átomo de hidrogênio podem ser escritas na forma
onde
é o comprimento de onda Compton do elétron e
é a constante de estrutura fina. Use as expressões para verificar se os valores numéricos das constantes
e
estão corretos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se os valores numéricos das constantes
(raio da primeira órbita de Bohr) e
(energia do nível fundamental do átomo de hidrogênio) estão corretos usando as fórmulas dadas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a física de Bohr, a constante de estrutura fina (
) e o comprimento de onda Compton (
). Vamos usar as expressões:
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o raio de Bohr (
). A fórmula que vamos usar é:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a velocidade da luz,
é a constante de estrutura fina,
é a massa do elétron, e
é o comprimento de onda Compton do elétron.
Passo 3
Vamos primeiro calcular
, o comprimento de onda Compton:
Sabendo que
,
, e
, substituímos:
Passo 4
Agora, calculamos
usando a segunda parte da expressão:
Sabendo que
, e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a energia do nível fundamental (
) usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos
:
Agora, calculamos
:
Convertendo para elétron-volts (1 eV =
J):
Considerando aproximações, esse valor está de acordo com o valor conhecido de
, mostrando que os cálculos estão corretos dentro das aproximações feitas.
Resposta
Os valores numéricos das constantes estão corretos: