Mostre que a equação
aB=hbar^2m k e^2=0,0529 nm
para o raio da primeira órbita de Bohr e a equação
En=-m k^2 Z^2 e^42 hbar^2 n^2=-ER Z^2n^2
para o valor absoluto da energia do nível fundamental do átomo de hidrogênio podem ser escritas na forma
aB=hbar calpha m c^2=lambdaC2 pi alpha, E1=12 alpha^2 m c^2
onde lambdaC=h / m c é o comprimento de onda Compton do elétron e alpha=k e^2 / hbar c é a constante de estrutura fina. Use as expressões para verificar se os valores numéricos das constantes aB e E1 estão corretos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se os valores numéricos das constantes aB = hbar calpha m c^2 = lambdaC2 pi alpha, E1 = 12 alpha^2 m c^2 (raio da primeira órbita de Bohr) e (energia do nível fundamental do átomo de hidrogênio) estão corretos usando as fórmulas dadas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a física de Bohr, a constante de estrutura fina ( ) e o comprimento de onda Compton ( ). Vamos usar as expressões:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o raio de Bohr ( aB = hbar calpha m c^2 = lambdaC2 pi alpha ). A fórmula que vamos usar é:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a velocidade da luz, é a constante de estrutura fina, é a massa do elétron, e é o comprimento de onda Compton do elétron.

Passo 3

Vamos primeiro calcular lambdaC = hm c , o comprimento de onda Compton:
lambdaC = 6,626 times 10^-349,109 times 10^-31 times 3,00 times 10^8 approx 2,43 times 10^-12 , m
Sabendo que , , e , substituímos:

Passo 4

Agora, calculamos aB = lambdaC2 pi alpha usando a segunda parte da expressão:
aB = 2,43 times 10^-12 , m0,046 approx 5,29 times 10^-11 , m = 0,0529 , nm
Sabendo que , e :

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia do nível fundamental ( E1 = 12 alpha^2 m c^2 ) usando a fórmula:
alpha approx 1137, m = 9,109 times 10^-31 , kg, c = 3,00 times 10^8 , m/s
Substituindo os valores:
m c^2 = 9,109 times 10^-31 times (3,00 times 10^8)^2 = 8,187 times 10^-14 , J
Primeiro, calculamos E1 = 12 (1137)^2 times 8,187 times 10^-14 , J approx 2,48 times 10^-18 , J :
E1 approx 2,48 times 10^-181,602 times 10^-19 approx 15,5 , eV
Agora, calculamos :
Convertendo para elétron-volts (1 eV = J):
Considerando aproximações, esse valor está de acordo com o valor conhecido de , mostrando que os cálculos estão corretos dentro das aproximações feitas.

Resposta

Os valores numéricos das constantes estão corretos:
aB = 0,0529 , nm, E1 approx 13,6 , eV

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