Mostre que a equação
para o raio da primeira órbita de Bohr e a equação
para o valor absoluto da energia do nível fundamental do átomo de hidrogênio podem ser escritas na forma
onde é o comprimento de onda Compton do elétron e é a constante de estrutura fina. Use as expressões para verificar se os valores numéricos das constantes e estão corretos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se os valores numéricos das constantes (raio da primeira órbita de Bohr) e (energia do nível fundamental do átomo de hidrogênio) estão corretos usando as fórmulas dadas. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre a física de Bohr, a constante de estrutura fina ( ) e o comprimento de onda Compton ( ). Vamos usar as expressões:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o raio de Bohr ( ). A fórmula que vamos usar é:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a velocidade da luz, é a constante de estrutura fina, é a massa do elétron, e é o comprimento de onda Compton do elétron.

Passo 3

Vamos primeiro calcular , o comprimento de onda Compton:
Sabendo que , , e , substituímos:

Passo 4

Agora, calculamos usando a segunda parte da expressão:
Sabendo que , e :

Passo 5

Agora, vamos calcular a energia do nível fundamental ( ) usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Primeiro, calculamos :
Agora, calculamos :
Convertendo para elétron-volts (1 eV = J):
Considerando aproximações, esse valor está de acordo com o valor conhecido de , mostrando que os cálculos estão corretos dentro das aproximações feitas.

Resposta

Os valores numéricos das constantes estão corretos:

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