Uma onda plana, de comprimento de onda igual a 590 nm, incide numa fenda com a=0,40 mm. Uma lente convergente delgada, com distância focal igual a + 70 cm, é colocada atrás da fenda e focaliza a luz sobre o anteparo. A que distância está o anteparo da lente?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma onda plana com comprimento de onda lambda = 590, nm que incide em uma fenda de largura a = 0,40, mm. Atrás da fenda, há uma lente convergente fina com distância focal f = +70, cm. Precisamos determinar a distância entre a lente e o anteparo (a tela onde a imagem é formada).
Conteúdo da matéria: Este problema envolve conceitos de difração de ondas e a utilização de lentes para formar imagens de fenômenos de difração.
O que precisaremos para resolver:
  • Fórmulas de difração por fenda única.
  • Relação entre distância focal da lente e a formação de imagens.
  • Conversão de unidades para manter a consistência nos cálculos.

Passo 2

Vamos começar convertendo todas as medidas para o Sistema Internacional de Unidades (SI) para facilitar os cálculos.
  • Comprimento de onda: lambda = 590, nm = 590 times 10^-9, m
  • Largura da fenda: a = 0,40, mm = 0,40 times 10^-3, m
  • Distância focal da lente: f = +70, cm = 0,70, m

Passo 3

Para determinar a distância entre a lente e o anteparo, precisamos entender como a difração da luz através da fenda é projetada pela lente.
Quando uma onda passa por uma fenda estreita, ela se difrata e forma um padrão de interferência na tela. A lente convergente focaliza os diferentes ângulos de difração em pontos distintos na tela, formando a imagem do padrão de difração.
A posição dos máximos e mínimos de difração na tela pode ser determinada usando a seguinte fórmula para os mínimos de difração por fenda única:
a sin theta = m lambda
Onde:
  • a é a largura da fenda,
  • theta é o ângulo de difração,
  • m é a ordem do mínimo ( m = pm1, pm2, pm3,dots),
  • lambda é o comprimento de onda.
Para pequenos ângulos, sin theta approx tan theta approx theta, onde theta está em radianos. A posição y do mínimo na tela em relação ao centro é dada por:
y = f tan theta approx f theta
Substituindo theta da primeira equação:
y = f ( m lambdaa )

Passo 4

Estamos interessados na distância entre a lente e o anteparo, que é a distância f (distância focal da lente). No entanto, para visualizar o padrão de difração projetado pela lente na tela, o anteparo deve estar posicionado no plano focal da lente.
Portanto, a distância entre a lente e o anteparo será igual à distância focal da lente.

Passo 5

Agora, substituímos o valor da distância focal da lente na equação.
y = f lambdaa
Mas, conforme explicado no passo anterior, para que a imagem do padrão de difração seja formada corretamente na tela, o anteparo deve estar exatamente na distância focal da lente.

Resposta

A distância entre a lente e o anteparo é de 70, cm.

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