Em um modelo de crescimento sazonal, uma função periódica do tempo é introduzida para considerar variações sazonais na taxa de crescimento. Essas variações podem, por exemplo, ser causadas por mudanças sazonais na oferta de alimentos.
(a) Encontre a solução do modelo de crescimento sazonal
(a) Encontre a solução do modelo de crescimento sazonal
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente resolver um modelo de crescimento que leva em conta as variações sazonais. Usamos uma equação diferencial que envolve a função cosseno pra representar essas mudanças ao longo do tempo. Pra resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente o fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação linear do tipo
, onde
.
Passo 3
Pra resolver, usamos o fator integrante. Calculamos:
A integral de
é
, então:
Passo 4
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica pra:
Passo 5
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então, isolamos
:
Passo 6
Aplicamos a condição inicial
pra achar
:
Então,
Passo 7
Substituindo
de volta na expressão de
:
Podemos juntar os expoentes:
Resposta
A solução do modelo de crescimento sazonal é:
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Resolva a equação diferencial linear abaixo pelo método do fator integrante:
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Resolva a equação diferencial linear abaixo pelo método do fator integrante:
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