Em um modelo de crescimento sazonal, uma função periódica do tempo é introduzida para considerar variações sazonais na taxa de crescimento. Essas variações podem, por exemplo, ser causadas por mudanças sazonais na oferta de alimentos.
(a) Encontre a solução do modelo de crescimento sazonal

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente resolver um modelo de crescimento que leva em conta as variações sazonais. Usamos uma equação diferencial que envolve a função cosseno pra representar essas mudanças ao longo do tempo. Pra resolver isso, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais de primeira ordem, especificamente o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que temos:
Essa é uma equação linear do tipo , onde .

Passo 3

Pra resolver, usamos o fator integrante. Calculamos:
A integral de é , então:

Passo 4

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Isso simplifica pra:

Passo 5

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Então, isolamos :

Passo 6

Aplicamos a condição inicial pra achar :
Então,

Passo 7

Substituindo de volta na expressão de :
Podemos juntar os expoentes:

Resposta

A solução do modelo de crescimento sazonal é:

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