Resolva a equação diferencial linear abaixo pelo método do fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que você me deu é:
Estamos lidando aqui com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos utilizar o método do fator integrante. Vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão e, em seguida, encontrar o fator que vai nos ajudar a integrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por
(assumindo que
), para deixar a equação no formato padrão:
Simplificando:
Agora, a equação está na forma padrão:
Onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso acontece porque usamos o fator integrante justamente para tornar a equação fácil de integrar.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Para encontrar
, basta dividir ambos os lados por
:
Simplificando a expressão exponencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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com
e