Resolva a equação diferencial linear abaixo pelo método do fator integrante:
2 x dy/dx + 24 x y = 2 x e^(2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que você me deu é:
Estamos lidando aqui com uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos utilizar o método do fator integrante. Vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão e, em seguida, encontrar o fator que vai nos ajudar a integrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo tudo por (assumindo que ), para deixar a equação no formato padrão:
Simplificando:
Agora, a equação está na forma padrão:
Onde e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante. O fator integrante ( ) é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Isso simplifica para:

Passo 5

Perceba que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso acontece porque usamos o fator integrante justamente para tornar a equação fácil de integrar.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Simplificando:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Para encontrar , basta dividir ambos os lados por :
Simplificando a expressão exponencial:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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