Um modelo de foguete é fixado à extremidade de uma haste rígida com 2,0 m de comprimento. A outra extremidade da haste gira sobre um pivô sem atrito, o que faz com que o foguete se mova em um círculo horizontal. O foguete acelera a 1,0 m / s^2 por 10 s, partindo do repouso, até acabar seu combustível. Qual é a velocidade angular do foguete, em rpm (rotações por minuto), quando acaba seu combustível?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um foguete que está preso a uma haste de 2,0 metros e está girando em um círculo horizontal. A gente vai usar conceitos de movimento circular, especificamente aceleração linear e velocidade angular, para resolver isso. Precisamos saber como relacionar a aceleração do foguete com a velocidade com que ele está girando quando o combustível acaba após 10 segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre a aceleração linear a = alpha times r e a aceleração angular alpha = ar . A fórmula que conecta essas duas é:
Aqui, é o raio do círculo, que nesse caso é 2,0 metros. Como a aceleração linear é de 1,0 m/s², podemos rearranjar a fórmula para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração angular alpha = 1,0, m/s²2,0, m = 0,5, rad/s² :
²²
Então, a aceleração angular do foguete é de 0,5 radianos por segundo ao quadrado.

Passo 4

Com a aceleração angular conhecida, podemos encontrar a velocidade angular omega = alpha times t após 10 segundos. Usamos a fórmula da velocidade angular com aceleração constante:
Onde é o tempo, que é 10 segundos.

Passo 5

Vamos calcular omega = 0,5, rad/s² times 10, s = 5, rad/s :
²
Então, a velocidade angular após 10 segundos é de 5 radianos por segundo.

Passo 6

Mas o exercício pede a velocidade angular em rpm (rotações por minuto), então precisamos converter de rad/s para rpm. Sabemos que:
1, rad/s = 602pi, rpm
Então, multiplicamos 5 rad/s por omega = 5, rad/s times 602pi approx 5 times 9,5493 approx 47,7465, rpm :

Resposta

A velocidade angular do foguete quando acaba o combustível é aproximadamente 47,75 rpm.

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