O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio
é dado por
, com
em amperes por metro quadrado e a distância radial
em metros. Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, cujo raio interno é
e cujo raio externo é
? (2,0 pontos)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre a densidade de corrente elétrica em um fio cilíndrico. A densidade de corrente, representada por $ J $, nos mostra quanta corrente está passando por uma área específica do fio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrando a densidade de corrente sobre a área do anel que queremos analisar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a densidade de corrente dada: $ J = 20 \times 10^2 , r^2 $. Isso significa que a densidade de corrente depende do raio $ r $ do fio. Nosso objetivo é encontrar a corrente total que passa por um anel com raio interno $ 0,8R $ e raio externo $ R $.
Passo 3
Sabemos que a corrente total $ I $ que passa por uma área é obtida integrando a densidade de corrente $ J $ sobre essa área. Em coordenadas cilíndricas, a área de um anel infinitesimal no raio $ r $ e espessura $ dr $ é:
Passo 4
Então, a corrente total $ I $ é:
Passo 5
Substituindo $ J® = 20 \times 10^2 , r^2 $:
Passo 6
Agora, vamos integrar $ r^3 $ em relação a $ r $:
Então,
Passo 7
Calculando $ (0,8R)^4 $:
Substituindo de volta:
Passo 8
Simplificando:
Agora, sabemos que $ R = 3,0 , mm = 3,0 \times 10^{-3} , m $. Vamos substituir:
Passo 9
Calculando $ (3,0 \times 10{-3})4 $:
Então,
Passo 10
Multiplicando os números:
E combinando as potências de 10:
Então,
Resposta
A corrente que passa pelo anel concêntrico é aproximadamente $ 1,50 \times 10^{-5} , A $.