O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R=3,0 mm é dado por J=(20.10^2 r^2), com J em amperes por metro quadrado e a distância radial r em metros. Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio, cujo raio interno é 0,8 R e cujo raio externo é R? (2,0 pontos)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A questão fala sobre a densidade de corrente elétrica em um fio cilíndrico. A densidade de corrente, representada por $ J $, nos mostra quanta corrente está passando por uma área específica do fio. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrando a densidade de corrente sobre a área do anel que queremos analisar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a densidade de corrente dada: $ J = 20 \times 10^2 , r^2 $. Isso significa que a densidade de corrente depende do raio $ r $ do fio. Nosso objetivo é encontrar a corrente total que passa por um anel com raio interno $ 0,8R $ e raio externo $ R $.

Passo 3

Sabemos que a corrente total $ I $ que passa por uma área é obtida integrando a densidade de corrente $ J $ sobre essa área. Em coordenadas cilíndricas, a área de um anel infinitesimal no raio $ r $ e espessura $ dr $ é:
I

Passo 4

Então, a corrente total $ I $ é:
I

Passo 5

Substituindo $ J® = 20 \times 10^2 , r^2 $:
J(r) = 20 times 10^2 , r^2

Passo 6

Agora, vamos integrar $ r^3 $ em relação a $ r $:
r^3
Então,
r

Passo 7

Calculando $ (0,8R)^4 $:
(0,8R)^4 ã
Substituindo de volta:
(0,8)^4 = 0,4096 então (0,8R)^4 = 0,4096 R^4

Passo 8

Simplificando:
I = 590,4 times 10^2 pi R^4
Agora, sabemos que $ R = 3,0 , mm = 3,0 \times 10^{-3} , m $. Vamos substituir:
R = 3,0 , mm = 3,0 times 10^-3 , m

Passo 9

Calculando $ (3,0 \times 10{-3})4 $:
(3,0 times 10^-3)^4
Então,
(3,0)^4 = 81 e (10^-3)^4 = 10^-12

Passo 10

Multiplicando os números:
590,4 times 81 = 47834,4
E combinando as potências de 10:
10^2 times 10^-12 = 10^-10
Então,
I = 47834,4 pi times 10^-10 , A

Resposta

A corrente que passa pelo anel concêntrico é aproximadamente $ 1,50 \times 10^{-5} , A $.

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