Para os próximos 2 itens, considere o seguinte: Quando o elevador ainda encontra-se em repouso antes de ser içado, uma esfera de massa
e raio
repousa pendurada no teto do elevador por uma mola de comprimento
e constante elástica
No instante exato em que se inicia o içamento do elevador a
para cima, qual serí a aceleraçào da esfera?
No instante exato em que se inicia o içamento do elevador a
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um elevador que, inicialmente, está parado. Pendurada no teto do elevador, há uma esfera com massa de $ m = 250,\mathrm{g} $ (que é igual a $ 0,25,\mathrm{kg} $) e raio de $ r = 5,\mathrm{cm} $. Essa esfera está presa por uma mola que tem comprimento de $ l = 50,\mathrm{cm} $ e constante elástica de $ K = 24,5,\mathrm{N/m} $.
A pergunta é: no exato momento em que o elevador começa a subir com uma aceleração de $ a = 0,098,\mathrm{m/s}^2 $, qual será a aceleração da esfera?
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de dinâmica e leis de Newton, especialmente a segunda lei, que relaciona força, massa e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que atuam na esfera quando o elevador começa a acelerar para cima. Temos duas forças principais:
-
Força peso ($ P $): é a força devido à gravidade que puxa a esfera para baixo. Ela é calculada por:onde $ g = 9,8,\mathrm{m/s^2} $ é a aceleração da gravidade.
-
Força da mola ($ F_m $): é a força exercida pela mola que está puxando a esfera para cima. Segundo a lei de Hooke, essa força é:onde $ \Delta L $ é a deformação da mola (quanto ela se estica ou comprime).
No momento em que o elevador começa a acelerar para cima, a esfera também sente essa aceleração. Isso significa que além da aceleração devido à gravidade, há a aceleração do elevador afetando a esfera.
Passo 3
Vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz:
Nesse caso, as forças na vertical são:
- Para cima: Força da mola ($ F_m $)
- Para baixo: Peso da esfera ($ P $) e a força adicional devido à aceleração do elevador.
Então, a equação fica:
onde $ a’ $ é a aceleração da esfera que precisamos encontrar.
Passo 4
Sabemos que o elevador está acelerando para cima com $ a = 0,098,\mathrm{m/s^2} $. Isso significa que a esfera dentro do elevador também está submetida a essa aceleração adicional. Portanto, a aceleração total que a esfera experimenta é a soma da aceleração devido à gravidade e à aceleração do elevador:
Passo 5
Vamos calcular $ P $ e depois encontrar $ F_m $.
Primeiro, calculando o peso ($ P $):
Agora, usando a equação da força da mola para encontrar $ F_m $:
No equilíbrio inicial (quando o elevador está parado), a força da mola equilibra exatamente o peso da esfera:
Passo 6
Agora, com a aceleração do elevador, a esfera precisa ajustar sua posição para acomodar a nova aceleração. Usando a segunda lei de Newton:
Substituindo $ a’ = g + a $:
Agora, encontramos a nova deformação da mola:
Passo 7
Com a nova deformação da mola, podemos ver que a mola agora está suportando tanto o peso da esfera quanto a força adicional devido à aceleração do elevador. Portanto, a aceleração da esfera é a mesma do elevador, ou seja, $ a = 0,098,\mathrm{m/s^2} $.
Resposta
A aceleração da esfera é de $ 0,098,\mathrm{m/s^2} $ para cima.