Para os próximos 2 itens, considere o seguinte: Quando o elevador ainda encontra-se em repouso antes de ser içado, uma esfera de massa m=250 g e raio r=5 cm repousa pendurada no teto do elevador por uma mola de comprimento l=50 cm e constante elástica K=24,5 Nm
No instante exato em que se inicia o içamento do elevador a a=0,098 ms^2 para cima, qual serí a aceleraçào da esfera?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um elevador que, inicialmente, está parado. Pendurada no teto do elevador, há uma esfera com massa de $ m = 250,\mathrm{g} $ (que é igual a $ 0,25,\mathrm{kg} $) e raio de $ r = 5,\mathrm{cm} $. Essa esfera está presa por uma mola que tem comprimento de $ l = 50,\mathrm{cm} $ e constante elástica de $ K = 24,5,\mathrm{N/m} $.
A pergunta é: no exato momento em que o elevador começa a subir com uma aceleração de $ a = 0,098,\mathrm{m/s}^2 $, qual será a aceleração da esfera?
Para resolver esse problema, vamos utilizar conceitos de dinâmica e leis de Newton, especialmente a segunda lei, que relaciona força, massa e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam na esfera quando o elevador começa a acelerar para cima. Temos duas forças principais:
  1. Força peso ($ P $): é a força devido à gravidade que puxa a esfera para baixo. Ela é calculada por:
    P
    onde $ g = 9,8,\mathrm{m/s^2} $ é a aceleração da gravidade.
  2. Força da mola ($ F_m $): é a força exercida pela mola que está puxando a esfera para cima. Segundo a lei de Hooke, essa força é:
    P = m cdot g
    onde $ \Delta L $ é a deformação da mola (quanto ela se estica ou comprime).
No momento em que o elevador começa a acelerar para cima, a esfera também sente essa aceleração. Isso significa que além da aceleração devido à gravidade, há a aceleração do elevador afetando a esfera.

Passo 3

Vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz:
Sigma F = m cdot a
Nesse caso, as forças na vertical são:
  • Para cima: Força da mola ($ F_m $)
  • Para baixo: Peso da esfera ($ P $) e a força adicional devido à aceleração do elevador.
Então, a equação fica:
Fm
onde $ a’ $ é a aceleração da esfera que precisamos encontrar.

Passo 4

Sabemos que o elevador está acelerando para cima com $ a = 0,098,\mathrm{m/s^2} $. Isso significa que a esfera dentro do elevador também está submetida a essa aceleração adicional. Portanto, a aceleração total que a esfera experimenta é a soma da aceleração devido à gravidade e à aceleração do elevador:
a = 0,098,m/s^2

Passo 5

Vamos calcular $ P $ e depois encontrar $ F_m $.
Primeiro, calculando o peso ($ P $):
P
Agora, usando a equação da força da mola para encontrar $ F_m $:
Fm
No equilíbrio inicial (quando o elevador está parado), a força da mola equilibra exatamente o peso da esfera:
P

Passo 6

Agora, com a aceleração do elevador, a esfera precisa ajustar sua posição para acomodar a nova aceleração. Usando a segunda lei de Newton:
Fm - P = m cdot a'
Substituindo $ a’ = g + a $:
a' = g + a
Fm = m cdot (g + a) + P
Fm = m cdot g + m cdot a + P = 2,45,N + 0,25,kg times 0,098,m/s^2 + 2,45,N
Agora, encontramos a nova deformação da mola:
Fm = 2,45,N + 0,0245,N + 2,45,N = 4,9245,N

Passo 7

Com a nova deformação da mola, podemos ver que a mola agora está suportando tanto o peso da esfera quanto a força adicional devido à aceleração do elevador. Portanto, a aceleração da esfera é a mesma do elevador, ou seja, $ a = 0,098,\mathrm{m/s^2} $.

Resposta

A aceleração da esfera é de $ 0,098,\mathrm{m/s^2} $ para cima.

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