O módulo J(r) da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R é dado por J(r)=alpha r^2, onde alpha é uma constante. Se a corrente total que a travessa o fio é i0, determine: (a) a constante alpha em função de i0 e R; (b) a corrente i que passa em um anel, concêntrico com o fio, cujo raio interno é 0,9 R e cujo raio externo é R em função de i0. R : (a) 2 i0pi R^4; (b) 0,34 i0.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre a densidade de corrente em um fio cilíndrico. A densidade de corrente, representada por , nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do material. Aqui, a densidade de corrente é dada por , onde é uma constante que precisamos encontrar. A corrente total que passa pelo fio é , e o raio do fio é . Vamos usar conceitos de matemática e eletromagnetismo para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante i0 = integral0^R J(r) cdot 2pi r , dr em função de i0 = integral0^R alpha r^2 cdot 2pi r , dr = 2pi alpha integral0^R r^3 , dr e . Para isso, vamos integrar a densidade de corrente sobre toda a seção transversal do fio para obter a corrente total.
Sabemos que a corrente total é dada pela integral da densidade de corrente sobre a área:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^R r^3 , dr = [ r^44 ]0^R = R^44
Substituindo de volta na equação da corrente total:
i0 = 2pi alpha cdot R^44 = pi alpha R^42

Passo 4

Agora, vamos resolver para alpha = 2 i0pi R^4 :

Passo 5

Pronto! Determinamos a constante em função de e .

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos encontrar a corrente i = integral0,9R^R J(r) cdot 2pi r , dr = 2pi alpha integral0,9R^R r^3 , dr que passa por um anel com raio interno e raio externo . Isso significa que vamos integrar a densidade de corrente apenas na região entre e .
A corrente é dada por:

Passo 7

Primeiro, calculamos a integral:
integral0,9R^R r^3 , dr = [ r^44 ]0,9R^R = R^44 - (0,9R)^44 = R^44 (1 - 0,9^4)
Calculando 0,9^4 = 0,6561 :
R^44 (1 - 0,6561) = R^44 times 0,3439 approx 0,085975 R^4
Então:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão da corrente i = 2pi alpha times 0,085975 R^4 :
i = 2pi times 2 i0pi R^4 times 0,085975 R^4 = 4 i0 times 0,085975 = 0,3439 i0 approx 0,34 i0
Sabemos que , então:

Resposta

(a)
(b)

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