O módulo
da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio
é dado por
, onde
é uma constante. Se a corrente total que a travessa o fio é
, determine: (a) a constante
em função de
e R; (b) a corrente i que passa em um anel, concêntrico com o fio, cujo raio interno é
e cujo raio externo é
em função de
.
: (a)
; (b)
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre a densidade de corrente em um fio cilíndrico. A densidade de corrente, representada por
, nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do material. Aqui, a densidade de corrente é dada por
, onde
é uma constante que precisamos encontrar. A corrente total que passa pelo fio é
, e o raio do fio é
. Vamos usar conceitos de matemática e eletromagnetismo para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a constante
em função de
e
. Para isso, vamos integrar a densidade de corrente sobre toda a seção transversal do fio para obter a corrente total.
Sabemos que a corrente total
é dada pela integral da densidade de corrente sobre a área:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo de volta na equação da corrente total:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
Pronto! Determinamos a constante
em função de
e
.
Passo 6
Agora, para a parte (b), queremos encontrar a corrente
que passa por um anel com raio interno
e raio externo
. Isso significa que vamos integrar a densidade de corrente apenas na região entre
e
.
A corrente
é dada por:
Passo 7
Primeiro, calculamos a integral:
Calculando
:
Então:
Passo 8
Agora, substituímos na expressão da corrente
:
Sabemos que
, então:
Resposta
(a)
(b)