O módulo da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio é dado por , onde é uma constante. Se a corrente total que a travessa o fio é , determine: (a) a constante em função de e R; (b) a corrente i que passa em um anel, concêntrico com o fio, cujo raio interno é e cujo raio externo é em função de . : (a) ; (b) .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre a densidade de corrente em um fio cilíndrico. A densidade de corrente, representada por , nos diz quanta corrente está passando por uma área específica do material. Aqui, a densidade de corrente é dada por , onde é uma constante que precisamos encontrar. A corrente total que passa pelo fio é , e o raio do fio é . Vamos usar conceitos de matemática e eletromagnetismo para resolver as duas partes do exercício.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante em função de e . Para isso, vamos integrar a densidade de corrente sobre toda a seção transversal do fio para obter a corrente total.
Sabemos que a corrente total é dada pela integral da densidade de corrente sobre a área:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral:
Substituindo de volta na equação da corrente total:

Passo 4

Agora, vamos resolver para :

Passo 5

Pronto! Determinamos a constante em função de e .

Passo 6

Agora, para a parte (b), queremos encontrar a corrente que passa por um anel com raio interno e raio externo . Isso significa que vamos integrar a densidade de corrente apenas na região entre e .
A corrente é dada por:

Passo 7

Primeiro, calculamos a integral:
Calculando :
Então:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão da corrente :
Sabemos que , então:

Resposta

(a)
(b)

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