Um resistor cilíndrico de raio ra e comprimento L0 é feito de uma material cuja resistividade é rho0. Determine (a) o módulo da densidade de corrente e (b) a diferença de potencial para que a potência dissipada no resistor seja P. R:(a) raizP / rho0 L0 A; (b) raizrho0 L0 P / A

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um resistor cilíndrico com raio , comprimento e resistividade . Queremos descobrir duas coisas:
(a) Qual é o módulo da densidade de corrente nesse resistor.
(b) Qual a diferença de potencial necessária para que a potência dissipada no resistor seja .
Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de eletricidade, como densidade de corrente, resistência elétrica e potência dissipada. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é densidade de corrente. A densidade de corrente J = IA é definida como a corrente elétrica A = pi ra^2 que passa por uma área , ou seja:
Aqui, é a área da seção transversal do resistor. Como o resistor é cilíndrico, a área é dada por:

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da potência dissipada em um resistor. A potência P = I^2 R ou P = V^2R pode ser expressa de duas maneiras:
Onde é a resistência elétrica e é a diferença de potencial.

Passo 4

Vamos precisar calcular a resistência R = rho0 L0A = rho0 L0pi ra^2 do resistor. A resistência de um material depende da resistividade , do comprimento e da área :

Passo 5

Para encontrar a densidade de corrente I = raizPR = raizPrho0 L0pi ra^2 = raizP pi ra^2rho0 L0 , precisamos relacionar a potência J = IA = raizP pi ra^2rho0 L0pi ra^2 = raizPrho0 L0 pi ra^2 = raizPrho0 L0 A com a corrente . Usando a fórmula , podemos isolar :
Agora, substituímos na fórmula de :

Passo 6

Para encontrar a diferença de potencial V = raizP R = raizP cdot rho0 L0pi ra^2 = raizrho0 L0 Ppi ra^2 = raizrho0 L0 PA , podemos usar a outra forma da potência: . Isolando :

Resposta

(a) O módulo da densidade de corrente é .
(b) A diferença de potencial necessária é .

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