Uma moeda de duas faces simétricas é arremessada duas vezes. Seja A a proposição de que o resultado do primeiro lançamento foi cara e B a proposição de que em ambos os lançamentos ocorreu o mesmo resultado.
b. A e B são independentes? São mutuamente exclusivos?
b. A e B são independentes? São mutuamente exclusivos?
Passo 1
Vamos resolver uma questão de probabilidade envolvendo lançamentos de uma moeda. Temos uma moeda de duas faces simétricas lançada duas vezes. Definimos duas proposições:
- A: O resultado do primeiro lançamento foi cara.
- B: Em ambos os lançamentos ocorreu o mesmo resultado.
Vamos verificar se A e B são eventos independentes e se são mutuamente exclusivos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “independentes” e “mutuamente exclusivos”:
- Independentes: Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro.
- Mutuamente exclusivos: Dois eventos são mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo.
Passo 3
Vamos listar todos os possíveis resultados dos dois lançamentos:
- Cara no primeiro e cara no segundo (CC)
- Cara no primeiro e coroa no segundo (CCo)
- Coroa no primeiro e cara no segundo (CoC)
- Coroa no primeiro e coroa no segundo (CoCo)
Cada resultado tem a mesma probabilidade de
.
Passo 4
Agora, vamos identificar os eventos A e B:
- A: O primeiro lançamento foi cara. Isso inclui os resultados CC e CCo.
- B: Ambos os lançamentos foram iguais. Isso inclui os resultados CC e CoCo.
Passo 5
Para verificar se A e B são independentes, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos cada probabilidade:
-
-
-
é a probabilidade de ambos os eventos acontecerem juntos, ou seja, apenas o resultado CC, que tem probabilidade .
Agora, verificamos:
Como
, os eventos A e B são independentes.
Passo 6
Para verificar se A e B são mutuamente exclusivos, analisamos se existe algum resultado que pertence a ambos os eventos. Observamos que o resultado CC está tanto em A quanto em B, ou seja, eles podem ocorrer ao mesmo tempo. Portanto, A e B não são mutuamente exclusivos.
Resposta
Sim, os eventos A e B são independentes, mas não são mutuamente exclusivos.
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Amostras de emissões de três fornecedores são classificados com relação a satisfazer às especificações de qualidade de ar. Os resultados de 100 amostras são resumidos a seguir:
Fornecedor | Obedece | |
---|---|---|
Sim | Não | |
1 | 22 | 8 |
2 | 25 | 5 |
3 | 30 | 10 |
Suponha que iremos sortear uma dessas amostras para a realização de exames mais detalhados. Seja A o evento que a amostra seja proveniente do fornecedor 1 e B o evento que a amostra atende às especificações.
b. Determine
b. Determine
Seja
uma variável aleatória, tal que
. Determine:
c.
c.