Uma moeda de duas faces simétricas é arremessada duas vezes. Seja A a proposição de que o resultado do primeiro lançamento foi cara e B a proposição de que em ambos os lançamentos ocorreu o mesmo resultado.
b. A e B são independentes? São mutuamente exclusivos?

Passo 1

Vamos resolver uma questão de probabilidade envolvendo lançamentos de uma moeda. Temos uma moeda de duas faces simétricas lançada duas vezes. Definimos duas proposições:
  • A: O resultado do primeiro lançamento foi cara.
  • B: Em ambos os lançamentos ocorreu o mesmo resultado.
Vamos verificar se A e B são eventos independentes e se são mutuamente exclusivos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “independentes” e “mutuamente exclusivos”:
  • Independentes: Dois eventos são independentes se a ocorrência de um não afeta a probabilidade do outro.
  • Mutuamente exclusivos: Dois eventos são mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer ao mesmo tempo.

Passo 3

Vamos listar todos os possíveis resultados dos dois lançamentos:
  1. Cara no primeiro e cara no segundo (CC)
  2. Cara no primeiro e coroa no segundo (CCo)
  3. Coroa no primeiro e cara no segundo (CoC)
  4. Coroa no primeiro e coroa no segundo (CoCo)
Cada resultado tem a mesma probabilidade de .

Passo 4

Agora, vamos identificar os eventos A e B:
  • A: O primeiro lançamento foi cara. Isso inclui os resultados CC e CCo.
  • B: Ambos os lançamentos foram iguais. Isso inclui os resultados CC e CoCo.

Passo 5

Para verificar se A e B são independentes, usamos a fórmula:
Primeiro, calculamos cada probabilidade:
  • é a probabilidade de ambos os eventos acontecerem juntos, ou seja, apenas o resultado CC, que tem probabilidade .
Agora, verificamos:
Como , os eventos A e B são independentes.

Passo 6

Para verificar se A e B são mutuamente exclusivos, analisamos se existe algum resultado que pertence a ambos os eventos. Observamos que o resultado CC está tanto em A quanto em B, ou seja, eles podem ocorrer ao mesmo tempo. Portanto, A e B não são mutuamente exclusivos.

Resposta

Sim, os eventos A e B são independentes, mas não são mutuamente exclusivos.

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