Um mol de um gás ideal, Cp=(7 / 2) R e CV=(5 / 2) R, é comprimido adiabaticamente em um dispositivo pistão/cilindro de 2 bar e 25 ^circ C até 7 bar. O processo é irreversivel e requer 35 % a mais de trabalho do que uma compressăo adiabática reversível do mesmo estado inicial até a mesma pressão final. Qual é a variação da entropia do gás?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um mol de gás ideal com capacidades térmicas $ C_p = \frac{7}{2} R $ e $ C_V = \frac{5}{2} R $. Esse gás é comprimido adiabaticamente (ou seja, sem troca de calor com o ambiente) em um pistão, passando de 2 bar e 25°C até 7 bar. O processo é irreversível e consome 35% mais trabalho do que um processo adiabático reversível nas mesmas condições. Queremos descobrir qual é a variação da entropia desse gás.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de processos adiabáticos reversíveis e irreversíveis, trabalho em processos termodinâmicos e a definição de entropia.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter as temperaturas para a escala Kelvin, já que nas equações térmicas usamos Kelvin.
A temperatura inicial $ T_1 $ é 25°C. Convertendo para Kelvin:
T1

Passo 3

Em processos adiabáticos reversíveis para um gás ideal, uma das relações conhecidas é:
P V^gamma = constante
onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_V} $.
Calculando $ \gamma $:
gamma = CpCV

Passo 4

Apesar do processo ser irreversível, sabemos que para processos adiabáticos reversíveis, a entropia não muda. Porém, para processos irreversíveis adiabáticos, a entropia aumenta. Precisamos calcular essa variação.
A variação da entropia para um processo irreversível com compressão adiabática pode ser relacionada à diferença de trabalho realizado em relação ao trabalho reversível.

Passo 5

Sabemos que o trabalho realizado no processo irreversível é 35% maior que no processo reversível. Vamos chamar o trabalho reversível de $ W_{rev} $ e o irreversível de $ W_{irr} $:
Wrev

Passo 6

Para um processo adiabático reversível, o trabalho realizado é dado por:
Wrev = CV (T2 - T1)1 - gamma
Mas como o processo é adiabático reversível, podemos usar também a relação:
T2 = T1 (P2P1)^gamma - 1gamma
Vamos calcular $ T_2 $:
T2

Passo 7

Agora, calculamos $ W_{rev} $:
Wrev
O sinal negativo indica trabalho realizado sobre o sistema.

Passo 8

O trabalho no processo irreversível é:
Wirr = 1,35 times (-1408,9 , R) approx -1902,2 , R

Passo 9

A variação da entropia $ \Delta S $ pode ser relacionada à quantidade de irreversibilidade no processo. Como o processo é adiabático, a troca de calor $ Q = 0 $, mas há produção de entropia devido à irreversibilidade.
A variação de entropia pode ser calculada pela diferença entre os estados finais e iniciais, mantendo a temperatura constante, já que não há troca de calor.
A fórmula é:
De
Como o volume não é diretamente fornecido, podemos usar relações de trabalho para encontrar a variação de entropia.

Passo 10

Para processos irreversíveis adiabáticos, a variação de entropia é:
De
Mas precisamos considerar que $ \Delta S = S_2 - S_1 $, e para processos adiabáticos irreversíveis:
De
A diferença entre os trabalhos nos dá a quantidade de energia dissipada, que está relacionada à variação de entropia.
Portanto:
De 0 é
Assumindo $ T_{médio} $ como a média entre $ T_1 $ e $ T_2 $:
Deé

Passo 11

Calculando $ \Delta S $:
De
Como a entropia não pode diminuir em um processo irreversível, associamos o valor absoluto:
De

Resposta

A variação da entropia do gás é aproximadamente $ \Delta S \approx 1,20 , R $.

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