Um mol de um gás ideal,
e
, é comprimido adiabaticamente em um dispositivo pistão/cilindro de 2 bar e
até 7 bar. O processo é irreversivel e requer
a mais de trabalho do que uma compressăo adiabática reversível do mesmo estado inicial até a mesma pressão final. Qual é a variação da entropia do gás?
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um mol de gás ideal com capacidades térmicas $ C_p = \frac{7}{2} R $ e $ C_V = \frac{5}{2} R $. Esse gás é comprimido adiabaticamente (ou seja, sem troca de calor com o ambiente) em um pistão, passando de 2 bar e 25°C até 7 bar. O processo é irreversível e consome 35% mais trabalho do que um processo adiabático reversível nas mesmas condições. Queremos descobrir qual é a variação da entropia desse gás.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de processos adiabáticos reversíveis e irreversíveis, trabalho em processos termodinâmicos e a definição de entropia.
Passo 2
Primeiro, precisamos converter as temperaturas para a escala Kelvin, já que nas equações térmicas usamos Kelvin.
A temperatura inicial $ T_1 $ é 25°C. Convertendo para Kelvin:
Passo 3
Em processos adiabáticos reversíveis para um gás ideal, uma das relações conhecidas é:
onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_V} $.
Calculando $ \gamma $:
Passo 4
Apesar do processo ser irreversível, sabemos que para processos adiabáticos reversíveis, a entropia não muda. Porém, para processos irreversíveis adiabáticos, a entropia aumenta. Precisamos calcular essa variação.
A variação da entropia para um processo irreversível com compressão adiabática pode ser relacionada à diferença de trabalho realizado em relação ao trabalho reversível.
Passo 5
Sabemos que o trabalho realizado no processo irreversível é 35% maior que no processo reversível. Vamos chamar o trabalho reversível de $ W_{rev} $ e o irreversível de $ W_{irr} $:
Passo 6
Para um processo adiabático reversível, o trabalho realizado é dado por:
Mas como o processo é adiabático reversível, podemos usar também a relação:
Vamos calcular $ T_2 $:
Passo 7
Agora, calculamos $ W_{rev} $:
O sinal negativo indica trabalho realizado sobre o sistema.
Passo 8
O trabalho no processo irreversível é:
Passo 9
A variação da entropia $ \Delta S $ pode ser relacionada à quantidade de irreversibilidade no processo. Como o processo é adiabático, a troca de calor $ Q = 0 $, mas há produção de entropia devido à irreversibilidade.
A variação de entropia pode ser calculada pela diferença entre os estados finais e iniciais, mantendo a temperatura constante, já que não há troca de calor.
A fórmula é:
Como o volume não é diretamente fornecido, podemos usar relações de trabalho para encontrar a variação de entropia.
Passo 10
Para processos irreversíveis adiabáticos, a variação de entropia é:
Mas precisamos considerar que $ \Delta S = S_2 - S_1 $, e para processos adiabáticos irreversíveis:
A diferença entre os trabalhos nos dá a quantidade de energia dissipada, que está relacionada à variação de entropia.
Portanto:
Assumindo $ T_{médio} $ como a média entre $ T_1 $ e $ T_2 $:
Passo 11
Calculando $ \Delta S $:
Como a entropia não pode diminuir em um processo irreversível, associamos o valor absoluto:
Resposta
A variação da entropia do gás é aproximadamente $ \Delta S \approx 1,20 , R $.