*relatividade
(b) Determine a velocidade de um elétron que foi acelerado por um campo elétrico, a partir do repouso, com diferença de potencial igual a 20,0 kV ou 5,0 MV (comum em um tubo de raios X com alta voltagem).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre relatividade! A gente precisa descobrir a velocidade de um elétron que foi acelerado a partir do repouso por um campo elétrico, usando uma diferença de potencial de 20,0 kV ou 5,0 MV, como num tubo de raios X de alta voltagem. Para isso, vamos usar conceitos de energia e relatividade para calcular a velocidade final do elétron.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando um elétron é acelerado por uma diferença de potencial , ele ganha uma quantidade de energia elétrica igual a , onde é a carga do elétron. Essa energia se transforma em energia cinética.

Passo 3

A energia cinética relativística de uma partícula é dada por:
Ek = (gamma - 1)mc^2
onde:
  • qV = (gamma - 1)mc^2 é o fator de Lorentz,
  • é a massa do elétron,
  • é a velocidade da luz,
  • é a velocidade do elétron que queremos encontrar.
Igualando a energia elétrica à energia cinética:

Passo 4

Vamos resolver para gamma = qVmc^2 + 1 :
v = c raiz1 - 1gamma^2
Agora, podemos expressar em termos de :

Passo 5

Vamos calcular os valores para os dois casos de gamma = (1,6 times 10^-19 , C)(20.000 , V)(9,11 times 10^-31 , kg)(3,00 times 10^8 , m/s)^2 + 1 :
Dados:
  • Carga do elétron, gamma approx 1 + 3,2 times 10^-158,19 times 10^-14 approx 1,039 C
  • Massa do elétron, v = 3,00 times 10^8 , m/s times raiz1 - 1(1,039)^2 approx 3,00 times 10^8 times 0,28 approx 8,4 times 10^7 , m/s kg
  • Velocidade da luz, gamma = (1,6 times 10^-19 , C)(5.000.000 , V)(9,11 times 10^-31 , kg)(3,00 times 10^8 , m/s)^2 + 1 m/s
**Para gamma approx 1 + 8,0 times 10^-138,19 times 10^-14 approx 10,77 kV v = 3,00 times 10^8 , m/s times raiz1 - 1(10,77)^2 approx 3,00 times 10^8 times 0,994 approx 2,98 times 10^8 , m/s V:
**Para MV V:

Resposta

A velocidade do elétron acelerado por uma diferença de potencial de 20,0 kV é aproximadamente m/s, e para uma diferença de potencial de 5,0 MV, a velocidade é aproximadamente m/s.

Exercícios relacionados