Um mol de um gás ideal monoatômico evolui de um estado inicial à pressão p e volume V até um estado final à pressão 2 p e volume 2 V , através de dois diferentes processos. (I) Ele expande isotermicamente até dobrar o volume e, então sua pressão aumenta a volume constante até o estado final, (II). Ele é comprimido isotermicamente até duplicar a pressão, e então, seu volume aumenta isobaricamente até o estado final. Mostre a trajetória de cada processo em um diagrama p x V, e para cada processo calcule, em função de p e V: (a) O calor absorvido pelo gás;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um mol de um gás ideal monoatômico que passa de um estado inicial com pressão
e volume
para um estado final com pressão
e volume
. Isso acontece através de dois processos diferentes. Nosso objetivo aqui é desenhar a trajetória de cada processo em um diagrama pressão (
) versus volume (
) e, para cada processo, calcular o calor absorvido pelo gás em função de
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como processos isotérmicos, isocóricos (volume constante) e isobáricos (pressão constante), além da primeira lei da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Processo I:
- Expansão isotérmica: O gás expande mantendo a temperatura constante até dobrar o volume de
para . Em processos isotérmicos para um gás ideal, a temperatura permanece constante, e a relação entre pressão e volume é dada por . - Aumento da pressão a volume constante: Depois de expandir, a pressão do gás aumenta de
para , mantendo o volume em .
Passo 3
Vamos agora calcular o calor absorvido no Processo I:
-
Expansão isotérmica:
- Para uma transformação isotérmica, a variação de energia interna
é zero, já que para um gás monoatômico depende apenas da temperatura, que está constante. - Usando a primeira lei da termodinâmica:
, então . - O trabalho
realizado durante uma expansão isotérmica é dado por: Como e , . - Portanto, o calor absorvido
.
- Para uma transformação isotérmica, a variação de energia interna
-
Aumento de pressão a volume constante:
- Aqui, o volume não muda, então não há trabalho realizado (
). - A variação de energia interna
para este processo é: Precisamos encontrar . Sabemos que , então inicialmente e no final .
Assim,, então .
Portanto,. - Usando
, como , temos .
- Aqui, o volume não muda, então não há trabalho realizado (
-
Total do Processo I:
- O calor total absorvido no Processo I é
.
- O calor total absorvido no Processo I é
Passo 4
Agora, vamos analisar o Processo II:
- Compressão isotérmica: O gás é comprimido isotermicamente, ou seja, a temperatura permanece constante enquanto a pressão dobra de
para . Nesse processo, o volume diminui de para . - Aumento do volume a pressão constante: Depois de comprimir, o volume aumenta de
para , mantendo a pressão em .
Passo 5
Vamos calcular o calor absorvido no Processo II:
-
Compressão isotérmica:
- Novamente, para uma transformação isotérmica,
e . - O trabalho realizado durante a compressão isotérmica é:
Aqui, e , então: - O calor absorvido
(negativo indica que o gás está liberando calor).
- Novamente, para uma transformação isotérmica,
-
Aumento do volume a pressão constante:
- O trabalho realizado aqui é:
- A variação de energia interna
para este processo: Como , no estado final temos , então e .
Assim,. - Usando
: Mas , então .
Portanto,.
- O trabalho realizado aqui é:
-
Total do Processo II:
- O calor total absorvido no Processo II é
.
- O calor total absorvido no Processo II é
Resposta
No Processo I, o calor absorvido pelo gás é
.
No Processo II, o calor absorvido pelo gás é .
No Processo II, o calor absorvido pelo gás é