Um mol de um gás ideal monoatômico evolui de um estado inicial à pressão p e volume V até um estado final à pressão 2 p e volume 2 V , através de dois diferentes processos. (I) Ele expande isotermicamente até dobrar o volume e, então sua pressão aumenta a volume constante até o estado final, (II). Ele é comprimido isotermicamente até duplicar a pressão, e então, seu volume aumenta isobaricamente até o estado final. Mostre a trajetória de cada processo em um diagrama p x V, e para cada processo calcule, em função de p e V: (a) O calor absorvido pelo gás;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá um mol de um gás ideal monoatômico que passa de um estado inicial com pressão e volume para um estado final com pressão e volume . Isso acontece através de dois processos diferentes. Nosso objetivo aqui é desenhar a trajetória de cada processo em um diagrama pressão ( ) versus volume ( ) e, para cada processo, calcular o calor absorvido pelo gás em função de e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, como processos isotérmicos, isocóricos (volume constante) e isobáricos (pressão constante), além da primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Processo I:
  1. Expansão isotérmica: O gás expande mantendo a temperatura constante até dobrar o volume de para . Em processos isotérmicos para um gás ideal, a temperatura permanece constante, e a relação entre pressão e volume é dada por .
  2. Aumento da pressão a volume constante: Depois de expandir, a pressão do gás aumenta de para , mantendo o volume em .

Passo 3

Vamos agora calcular o calor absorvido no Processo I:
  1. Expansão isotérmica:
    • Para uma transformação isotérmica, a variação de energia interna W = nRT ln(VfVi) é zero, já que De para um gás monoatômico depende apenas da temperatura, que está constante.
    • Usando a primeira lei da termodinâmica: , então .
    • O trabalho realizado durante uma expansão isotérmica é dado por: Como e , .
    • Portanto, o calor absorvido .
  2. Aumento de pressão a volume constante:
    • Aqui, o volume não muda, então não há trabalho realizado ( ).
    • A variação de energia interna para este processo é: Precisamos encontrar . Sabemos que , então inicialmente e no final .
      Assim, , então .
      Portanto, .
    • Usando , como , temos .
  3. Total do Processo I:
    • O calor total absorvido no Processo I é .

Passo 4

Agora, vamos analisar o Processo II:
  1. Compressão isotérmica: O gás é comprimido isotermicamente, ou seja, a temperatura permanece constante enquanto a pressão dobra de para . Nesse processo, o volume diminui de para .
  2. Aumento do volume a pressão constante: Depois de comprimir, o volume aumenta de para , mantendo a pressão em .

Passo 5

Vamos calcular o calor absorvido no Processo II:
  1. Compressão isotérmica:
    • Novamente, para uma transformação isotérmica, W = nRT ln(VfVi) e W = RT ln(V2V) = RT ln(12) = -RT ln 2 .
    • O trabalho realizado durante a compressão isotérmica é: W = p DeAqui, De e Q2 = De, então:
    • O calor absorvido (negativo indica que o gás está liberando calor).
  2. Aumento do volume a pressão constante:
    • O trabalho realizado aqui é:
    • A variação de energia interna para este processo: Como , no estado final temos , então e .
      Assim, .
    • Usando : Mas , então .
      Portanto, .
  3. Total do Processo II:
    • O calor total absorvido no Processo II é .

Resposta

No Processo I, o calor absorvido pelo gás é .
No Processo II, o calor absorvido pelo gás é .

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