Um mol de gás ideal monoatômico, inicialmente sob PTN, sofre uma transformação reversível em que seu volume é dobrado. A natureza da transformação não é conhecida, mas sabe-se que e .
a) Calcule a temperatura e pressão finais bem como e w.
b) Se o gás é levado às mesmas condições finais, por uma transformação isovolumétrica e outra isotérmica, ambas reversíveis, quais seriam os valores de , q e w?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um mol de gás ideal monoatômico nas condições padrão de temperatura e pressão (PTN). Ele passa por uma transformação reversível onde o volume dobra. Sabemos que a variação da entalpia (ΔH) é 500 cal e o calor trocado (q) é 400 cal. Nosso objetivo aqui é encontrar a temperatura final, a pressão final, a variação da energia interna (ΔU) e o trabalho realizado (w).
Para resolver isso, vamos precisar usar as leis dos gases ideais, a relação entre entalpia e energia interna, e as primeiras leis da termodinâmica. Não se preocupe, vou explicar cada passo certinho!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal monoatômico, a energia interna depende apenas da temperatura. A relação entre ΔH (variação da entalpia) e ΔU (variação da energia interna) para um gás ideal é:
Como sabemos que PV = nRT para gases ideais, podemos reescrever:
Aqui, n é o número de mols, R é a constante dos gases e T é a temperatura.
Passo 3
Sabemos que o volume dobra, então se o volume inicial é V₁, o final é V₂ = 2V₁. Também sabemos que o processo é reversível e queremos achar a temperatura final (T₂) e a pressão final (P₂).
Vamos usar a equação dos gases ideais para as condições inicial e final:
Como V₂ = 2V₁ e assumindo que as condições iniciais são PTN (P₁ = 1 atm, T₁ = 273 K), podemos substituir na segunda equação:
Mas também sabemos que n R T₁ = P₁ V₁, então substituindo:
Ou seja, a pressão final P₂ é igual à pressão inicial P₁.
Passo 4
Agora, vamos relacionar a variação da entalpia e da energia interna. Para um gás monoatômico, a capacidade calorífica a volume constante (C_v) é e a a pressão constante (C_p) é . A relação é:
Sabemos que ΔH = 500 cal e ΔU é o que queremos encontrar.
Passo 5
Vamos encontrar a variação de temperatura (ΔT). Sabemos que:
Resolvendo para ΔT:
Considerando que R ≈ 1.987 cal/(mol·K):
Então, a temperatura final T₂ é:
Passo 6
Agora, como P₂ = P₁ e T₂ foi encontrado, podemos confirmar que a pressão final é a mesma da inicial, ou seja, 1 atm.
Para encontrar ΔU:
Passo 7
Por fim, vamos calcular o trabalho realizado (w). Sabemos que:
Rearranjando:
O sinal negativo indica que o trabalho foi realizado sobre o sistema.
Resposta
A temperatura final é aproximadamente 373,5 K, a pressão final permanece em 1 atm, a variação da energia interna (ΔU) é de 300 cal e o trabalho realizado (w) é de -100 cal.