Para um gás de van der Waals é válida a seguinte expressão:
Obtenha uma equação que relacione as temperaturas e os volumes (iniciais e finais) em uma expansão adiabática e reversível desse gás, considerando que a equação de van der Waals é
e que , onde e são constantes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um gás que segue a equação de van der Waals, que é uma forma mais real de descrever o comportamento dos gases comparado com a equação dos gases ideais. Queremos encontrar uma relação entre as temperaturas e os volumes inicial e final quando esse gás passa por uma expansão adiabática e reversível. Para isso, vamos precisar entender o que é uma expansão adiabática, a equação de van der Waals e como o calor específico em função da temperatura ( ) entra nessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma expansão adiabática. Em uma expansão adiabática, não há troca de calor com o ambiente, ou seja, . Além disso, sendo reversível, o processo pode ser revertido sem deixar mudanças no ambiente. Isso nos leva à primeira lei da termodinâmica: . Como , temos , onde é o trabalho realizado pelo sistema.

Passo 3

A próxima coisa é entender a relação interna entre a energia interna ( ), o volume ( ) e a temperatura ( ) para o gás de van der Waals. A equação fornecida é:
Isso nos diz como a energia interna muda com o volume a uma temperatura constante. Para encontrar a relação entre e durante a expansão adiabática, precisamos integrar essa expressão levando em consideração que o processo é adiabático.

Passo 4

Sabemos que para um processo adiabático reversível, podemos usar a condição de que a entropia permanece constante. Porém, uma abordagem mais direta é combinar a primeira lei da termodinâmica com as expressões específicas para o trabalho e a mudança na energia interna.
Vamos expressar a mudança na energia interna em termos de :
E o trabalho realizado pelo gás é:
Como o processo é adiabático, temos:

Passo 5

Agora, precisamos expressar a pressão em termos de e usando a equação de van der Waals:
Vamos isolar :
Substituindo essa expressão de na equação anterior:

Passo 6

Agora, vamos substituir na equação:
Essa equação relaciona as mudanças na temperatura e no volume durante o processo adiabático.

Passo 7

Para encontrar uma relação entre e , precisamos separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos reorganizar a equação:
A integração pode ser complicada devido à presença dos termos e , mas com as suposições dadas, podemos buscar uma solução aproximada ou específica para determinados casos.

Passo 8

Após integrar ambos os lados, obteríamos uma relação entre e . No entanto, devido à complexidade da equação, geralmente se assume que as variações são pequenas ou que certos termos podem ser negligenciados para simplificar a integração. Para o propósito deste exercício, vamos considerar que a relação final entre as temperaturas e os volumes inicial e final pode ser expressa em termos de uma função que relaciona , com , levando em conta os parâmetros , , , e .

Resposta

Portanto, a equação que relaciona as temperaturas e os volumes inicial e final na expansão adiabática e reversível do gás de van der Waals é obtida integrando a expressão:
Essa relação conecta , com , considerando os parâmetros fornecidos.

Exercícios relacionados

Um mol de gás ideal monoatômico passa do estado inicial até estado final através de dois processos:
a) Diminuição do volume sob P constante, seguida por uma diminuição de pressão sob volume constante;
b) Diminuição da pressão sob volume constante, seguida de diminuição do volume sob pressão constante.
a) Represente graficamente num diagrama PV os dois processos;
b) Calcule q, w, e para cada processo;
c) Se o gás executa o processo A e retorna ao estado inicial através do processo B , qual o valor total de q, de w, de e de ? Foi uma transformação cíclica? Justifique.
Um mol de gás ideal monoatômico, inicialmente sob PTN, sofre uma transformação reversível em que seu volume é dobrado. A natureza da transformação não é conhecida, mas sabe-se que e .
a) Calcule a temperatura e pressão finais bem como e w.
b) Se o gás é levado às mesmas condições finais, por uma transformação isovolumétrica e outra isotérmica, ambas reversíveis, quais seriam os valores de , q e w?
a) Calcule os valores de q, w e funções termodinâmicas para a expansão irreversível, adiabática e contra o vácuo de 1 mol de gás ideal monoatômico.
b) Supondo , e , calcule e .
Calcule e para a transformação reversível definida por de um mol de G.I. monoatômico, que passa de um estado inicial de 2 atm e a um estado final onde 15 atm . Determine o valor da capacidade calorífica média: