Um mol de gás monoatômico ideal passa do estado inicial, cuja pressão é
e volume é
, para um estado final de pressão
e volume
, através de dois processos quase-estáticos diferentes:
ele se expande isotermicamente até que seu volume dobre e, em seguida, sua pressão é aumentada a volume constante, até atingir o estado final mencionado;
ele é primeiro comprimido isotermicamente até que sua pressão dobre e, em seguida, seu volume é aumentado até o valor final. Desenhe o caminho de cada processo num diagrama
; para cada um deles, e em função de
e
, calcule:
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um mol de gás monoatômico ideal que passa de um estado inicial com pressão
e volume
para um estado final com pressão
e volume
. Isso acontece por dois caminhos diferentes:
-
Processo I:
- Expansão isotérmica (temperatura constante) até o volume dobrar.
- Aumento da pressão a volume constante até chegar no estado final.
-
Processo II:
- Compressão isotérmica até a pressão dobrar.
- Aumento do volume até atingir o estado final.
Vamos desenhar os caminhos no diagrama
e calcular o trabalho realizado em cada processo em função de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a equação de estado é dada por:
Como temos 1 mol de gás monoatômico ideal, simplificamos para:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a constante dos gases ( ), -
é a temperatura.
Como o processo é isotérmico, a temperatura
permanece constante.
Passo 3
Vamos começar com o Processo I:
-
Expansão Isotérmica: O volume dobra de
para mantendo a temperatura constante. Como , a pressão diminui conforme o volume aumenta. A pressão final nesse passo será: -
Aumento da Pressão a Volume Constante: Agora, mantemos o volume em
e aumentamos a pressão de para .
Passo 4
Agora, vamos calcular o trabalho realizado em cada etapa do Processo I.
-
Trabalho na Expansão Isotérmica:O trabalho realizado em um processo isotérmico é dado por:Substituindo
e : -
Trabalho no Aumento de Pressão a Volume Constante:Quando o volume é constante, não há trabalho realizado, pois:Portanto, o trabalho total no Processo I é apenas o trabalho da expansão isotérmica:
Passo 5
Agora, vamos para o Processo II:
-
Compressão Isotérmica: A pressão dobra de
para mantendo a temperatura constante. Usando : -
Aumento do Volume até
: Agora, mantemos a pressão em e aumentamos o volume de para .
Passo 6
Vamos calcular o trabalho em cada etapa do Processo II.
-
Trabalho na Compressão Isotérmica:O trabalho em uma compressão isotérmica é:Aqui,
e : O sinal negativo indica que é uma compressão (trabalho feito sobre o sistema). -
Trabalho no Aumento de Volume a Pressão Constante:Quando a pressão é constante, o trabalho é:Aqui,
, e a pressão é : Portanto, o trabalho total no Processo II é a soma dos dois trabalhos:
Resposta
No Processo I, o trabalho realizado é:
No Processo II, o trabalho realizado é:
Isso mostra que os dois processos têm trabalhos diferentes, mesmo levando o sistema do mesmo estado inicial ao final. O diagrama
para cada processo também refletirá essas diferenças nos caminhos seguidos.