Um mol de gás monoatômico ideal passa do estado inicial, cuja pressão é P e volume é V, para um estado final de pressão 2 P e volume 2 V, através de dois processos quase-estáticos diferentes: (I) ele se expande isotermicamente até que seu volume dobre e, em seguida, sua pressão é aumentada a volume constante, até atingir o estado final mencionado; (I I) ele é primeiro comprimido isotermicamente até que sua pressão dobre e, em seguida, seu volume é aumentado até o valor final. Desenhe o caminho de cada processo num diagrama P V; para cada um deles, e em função de P e V, calcule:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um mol de gás monoatômico ideal que passa de um estado inicial com pressão e volume para um estado final com pressão e volume . Isso acontece por dois caminhos diferentes:
  1. Processo I:
    • Expansão isotérmica (temperatura constante) até o volume dobrar.
    • Aumento da pressão a volume constante até chegar no estado final.
  2. Processo II:
    • Compressão isotérmica até a pressão dobrar.
    • Aumento do volume até atingir o estado final.
Vamos desenhar os caminhos no diagrama e calcular o trabalho realizado em cada processo em função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um gás ideal, a equação de estado é dada por:
PV = nRT
Como temos 1 mol de gás monoatômico ideal, simplificamos para:
PV = RT
Onde:
  • é a pressão,
  • é o volume,
  • é a constante dos gases ( ),
  • é a temperatura.
Como o processo é isotérmico, a temperatura permanece constante.

Passo 3

Vamos começar com o Processo I:
  1. Expansão Isotérmica: O volume dobra de P1 times V1 = P2 times V2 Rightarrow P times V = P1 times 2V Rightarrow P1 = P2 para mantendo a temperatura constante. Como , a pressão diminui conforme o volume aumenta.
    A pressão final nesse passo será:
  2. Aumento da Pressão a Volume Constante: Agora, mantemos o volume em e aumentamos a pressão de para .

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho realizado em cada etapa do Processo I.
  1. Trabalho na Expansão Isotérmica:
    O trabalho realizado em um processo isotérmico é dado por:
    Wisotérmico = nRT ln(VfVi) é
    Substituindo Wisotérmico = RT ln(2) e W = P De:
    WI = RT ln(2) é
  2. Trabalho no Aumento de Pressão a Volume Constante:
    Quando o volume é constante, não há trabalho realizado, pois:
    Portanto, o trabalho total no Processo I é apenas o trabalho da expansão isotérmica:

Passo 5

Agora, vamos para o Processo II:
  1. Compressão Isotérmica: A pressão dobra de P times V = 2P times V1 Rightarrow V1 = V2 para mantendo a temperatura constante. Usando :
  2. Aumento do Volume até : Agora, mantemos a pressão em e aumentamos o volume de para .

Passo 6

Vamos calcular o trabalho em cada etapa do Processo II.
  1. Trabalho na Compressão Isotérmica:
    O trabalho em uma compressão isotérmica é:
    Wisotérmico = nRT ln(VfVi) é
    Aqui, Wisotérmico = RT ln(V2V) = RT ln(12) = -RT ln(2) e W = P De:
    W = 2P times 3V2 = 3PV é
    O sinal negativo indica que é uma compressão (trabalho feito sobre o sistema).
  2. Trabalho no Aumento de Volume a Pressão Constante:
    Quando a pressão é constante, o trabalho é:
    WII = -RT ln(2) + 3PV
    Aqui, , e a pressão é :
    Portanto, o trabalho total no Processo II é a soma dos dois trabalhos:

Resposta

No Processo I, o trabalho realizado é:
WI = RT ln(2)
No Processo II, o trabalho realizado é:
WII = -RT ln(2) + 3PV
Isso mostra que os dois processos têm trabalhos diferentes, mesmo levando o sistema do mesmo estado inicial ao final. O diagrama para cada processo também refletirá essas diferenças nos caminhos seguidos.

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