Um mol de um gás de van der Waals, a 27^circ C, expande-se isotermicamente e reversivelmente de 10L até 30L. Calcule o trabalho envolvido.

Passo 1

Vamos lá! A questão nos diz que temos um mol de um gás de Van der Waals a 27°C que se expande isotermicamente e reversivelmente de 10 litros para 30 litros. Nosso objetivo é calcular o trabalho envolvido nesse processo. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Van der Waals e entender como calcular o trabalho em uma expansão isotérmica reversível.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Van der Waals, que ajusta a equação dos gases ideais considerando o tamanho das moléculas e as forças de atração entre elas. A equação é:
( P + a n^2V^2 ) (V - n b ) = n R T
Onde:
  • $ P $ é a pressão,
  • $ V $ é o volume,
  • $ n $ é o número de moles,
  • $ R $ é a constante universal dos gases ( P ),
  • $ T $ é a temperatura em Kelvin,
  • $ a $ e $ b $ são constantes específicas do gás que consideram as interações intermoleculares e o volume ocupado pelas moléculas, respectivamente.

Passo 3

Como o processo é isotérmico (temperatura constante) e reversível, o trabalho realizado pelo gás pode ser calculado pela integral:
W = integralVi^Vf P , dV
Substituindo a pressão da equação de Van der Waals:
P = n R TV - n b - a n^2V^2
Então, o trabalho fica:
W = integral10,L^30,L ( n R TV - n b - a n^2V^2 ) dV

Passo 4

Vamos resolver essa integral separadamente:
  1. Integral da primeira parte:
integral n R TV - n b , dV = n R T ln |V - n b|
  1. Integral da segunda parte:
integral a n^2V^2 , dV = - a n^2V
Portanto, o trabalho total é:
W = n R T ln ( Vf - n bVi - n b ) + a n^2 ( 1Vi - 1Vf )

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores fornecidos na equação:
  • $ n = 1 $ mol
  • $ T = 27°C = 300 $ K (convertendo para Kelvin)
  • $ R = 0,0821 , L·atm/K·mol $
  • $ V_i = 10 $ L
  • $ V_f = 30 $ L
Substituindo esses valores:
n = 1
Calculando os termos numéricos:
T = 27°C = 300
R = 0,0821 , L·atm/K·mol

Resposta

O trabalho envolvido na expansão isotérmica reversível desse gás de Van der Waals é dado por:
W = 24,63 ln ( 30 - b10 - b ) + 0,0667,a L·atm
Onde:
  • $ a $ e $ b $ são as constantes específicas do gás de Van der Waals considerado.
Para obter um valor numérico específico, seriam necessárias as informações das constantes $ a $ e $ b $ para o gás em questão.

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