Uma mola de constante elástica k=0,5 N / m e presa a um bloco de massa m, oscila sob uma mesa horizontal sem atrito. Quando a massa está na posição x1=0,1 m sua velocidade v1=-1 m / s, e quando está na posição x2=-0,2 m sua velocidade é v2=0,5 m / s. Encontre a massa m do bloco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma mola com constante elástica $ k = 0,5 , N/m $ presa a um bloco de massa $ m $. Esse sistema está oscilando sobre uma mesa sem atrito. Queremos descobrir qual é a massa $ m $ do bloco. Para isso, vamos usar os conceitos de energia mecânica na oscilação harmônica simples e as relações entre posição, velocidade e energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total do sistema em oscilação harmônica simples se mantém constante e é a soma da energia potencial da mola $ U $ e da energia cinética $ K $. Matemáticamente, isso é:
U
Onde:
K
E = U + K
Aqui, $ x $ é a posição e $ v $ é a velocidade do bloco.

Passo 3

Vamos usar os dois pontos dados para montar as equações da energia total. No primeiro ponto:
x1 = 0,1 , m, v1 = -1 , m/s
A energia total é:
E = 12 k x1^2 + 12 m v1^2
Substituindo os valores:
E = 12 times 0,5 times (0,1)^2 + 12 times m times (-1)^2
E = 12 times 0,5 times 0,01 + 12 m times 1
E = 0,0025 + 0,5 m

Passo 4

No segundo ponto:
x2 = -0,2 , m, v2 = 0,5 , m/s
A energia total é:
E = 12 k x2^2 + 12 m v2^2
Substituindo os valores:
E = 12 times 0,5 times (-0,2)^2 + 12 times m times (0,5)^2
E = 12 times 0,5 times 0,04 + 12 m times 0,25
E = 0,01 + 0,125 m

Passo 5

Como a energia total $ E $ é a mesma nos dois pontos, podemos igualar as duas expressões:
E
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ m $.

Passo 6

Primeiro, vamos trazer todos os termos com $ m $ para um lado e os constantes para o outro:
m
0,5 m - 0,125 m = 0,01 - 0,0025
Agora, isolamos $ m $:
0,375 m = 0,0075
m

Resposta

A massa do bloco é $ m = 0,02 , kg $.

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