Uma mola de constante elástica
e presa a um bloco de massa
, oscila sob uma mesa horizontal sem atrito. Quando a massa está na posição
sua velocidade
, e quando está na posição
sua velocidade é
. Encontre a massa
do bloco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma mola com constante elástica $ k = 0,5 , N/m $ presa a um bloco de massa $ m $. Esse sistema está oscilando sobre uma mesa sem atrito. Queremos descobrir qual é a massa $ m $ do bloco. Para isso, vamos usar os conceitos de energia mecânica na oscilação harmônica simples e as relações entre posição, velocidade e energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total do sistema em oscilação harmônica simples se mantém constante e é a soma da energia potencial da mola $ U $ e da energia cinética $ K $. Matemáticamente, isso é:
Onde:
Aqui, $ x $ é a posição e $ v $ é a velocidade do bloco.
Passo 3
Vamos usar os dois pontos dados para montar as equações da energia total. No primeiro ponto:
A energia total é:
Substituindo os valores:
Passo 4
No segundo ponto:
A energia total é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Como a energia total $ E $ é a mesma nos dois pontos, podemos igualar as duas expressões:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ m $.
Passo 6
Primeiro, vamos trazer todos os termos com $ m $ para um lado e os constantes para o outro:
Agora, isolamos $ m $:
Resposta
A massa do bloco é $ m = 0,02 , kg $.