Uma mola de constante elástica k=0,5 N / m e presa a um bloco de massa m, oscila sob uma mesa horizontal sem atrito. Quando a massa está na posição x1=0,1 m sua velocidade v1=-1 m / s, e quando está na posição x2=-0,2 m sua velocidade é v2=0,5 m / s. Supondo que o ângulo de fase é zero no início do movimento, escreva a equação do movimento e da velocidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de mecânica vibracional, especificamente sobre o movimento de uma mola com uma massa presa. O enunciado nos dá a constante elástica da mola, as posições e as velocidades da massa em dois pontos diferentes. Nosso objetivo é descobrir as equações que descrevem o movimento e a velocidade dessa massa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento harmônico simples, usar fórmulas de física e, claro, fazer algumas contas passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o movimento harmônico simples. Nesse tipo de movimento, a posição da massa em função do tempo é dada por:
x(t) = A cos(omega t + phi)
Onde:
  • $ A $ é a amplitude do movimento (a maior distância que a massa alcança a partir do ponto de equilíbrio).
  • $ \omega $ é a frequência angular, que está relacionada à constante da mola ($ k A à m $) pela fórmula:
    omega
  • $ \phi $ é a fase inicial do movimento.
A velocidade da massa é a derivada da posição em relação ao tempo:
k

Passo 3

No enunciado, foi dito que o ângulo de fase é zero no início do movimento. Isso simplifica nossas equações, pois $ \phi = 0 $. Então, as equações ficam:
phi = 0
x(t) = A cos(omega t)

Passo 4

Agora, vamos usar os dados fornecidos para encontrar $ A $ e $ \omega $. Temos duas situações:
  1. Quando $ x_1 = 0,1 , m $ e $ v_1 = -1 , m/s $:
    A
    omega
    Simplificando a segunda equação:
    x1 = 0,1 , m
  2. Quando $ x_2 = -0,2 , m $ e $ v_2 = 0,5 , m/s $:
    v1 = -1 , m/s
    0,1 = A cos(omega t1)
    Simplificando a segunda equação:
    -1 = -A omega sin(omega t1)

Passo 5

Para resolver essas equações, vamos dividir a equação de posição pela equação de velocidade correspondente para cada caso, o que nos ajuda a eliminar $ A $ e $ \omega $:
Para o primeiro caso:
A
omega
x1v1 = 0,1-1 = -0,1 = A cos(omega t1)-A omega sin(omega t1)
-0,1 = -cos(omega t1)omega sin(omega t1)
0,1 = cos(omega t1)omega sin(omega t1)
Isso nos dá uma relação entre $ \omega $ e $ t_1 $.

Passo 6

Fazendo o mesmo para o segundo caso:
x2v2 = -0,20,5 = -0,4 = A cos(omega t2)-A omega sin(omega t2)
-0,4 = -cos(omega t2)omega sin(omega t2)
0,4 = cos(omega t2)omega sin(omega t2)
omega sin(omega t2) = cos(omega t2)0,4
omega sin(omega t2) = 2,5 cos(omega t2)
Outra relação entre $ \omega $ e $ t_2 $.

Passo 7

Agora, temos duas equações que relacionam $ \omega $ com os tempos $ t_1 $ e $ t_2 $. Para encontrar $ \omega $, podemos dividir essas duas equações:
omega
t1
t2
Isso simplifica para uma relação que podemos resolver para $ \omega $.

Passo 8

Após resolver as equações acima (o que envolve um pouco de trigonometria e álgebra), podemos encontrar o valor de $ \omega $. Com $ \omega $ conhecido, voltamos para uma das equações de posição para encontrar a amplitude $ A $.
Por exemplo, usando $ x_1 = A \cos(\omega t_1) $, uma vez que $ \omega $ está conhecido, podemos isolar $ A $:
omega

Passo 9

Finalmente, com $ A $ e $ \omega $ encontrados, substituímos esses valores nas equações do movimento e da velocidade:
A
omega

Resposta

As equações do movimento e da velocidade são:
x(t) = A cos(omega t)
v(t) = -A omega sin(omega t)

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