Uma mola de constante elástica
e presa a um bloco de massa
, oscila sob uma mesa horizontal sem atrito. Quando a massa está na posição
sua velocidade
, e quando está na posição
sua velocidade é
. Supondo que o ângulo de fase é zero no início do movimento, escreva a equação do movimento e da velocidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de mecânica vibracional, especificamente sobre o movimento de uma mola com uma massa presa. O enunciado nos dá a constante elástica da mola, as posições e as velocidades da massa em dois pontos diferentes. Nosso objetivo é descobrir as equações que descrevem o movimento e a velocidade dessa massa ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre movimento harmônico simples, usar fórmulas de física e, claro, fazer algumas contas passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o movimento harmônico simples. Nesse tipo de movimento, a posição da massa em função do tempo é dada por:
Onde:
-
$ A $ é a amplitude do movimento (a maior distância que a massa alcança a partir do ponto de equilíbrio).
-
$ \omega $ é a frequência angular, que está relacionada à constante da mola ($ k
m $) pela fórmula: -
$ \phi $ é a fase inicial do movimento.
A velocidade da massa é a derivada da posição em relação ao tempo:
Passo 3
No enunciado, foi dito que o ângulo de fase é zero no início do movimento. Isso simplifica nossas equações, pois $ \phi = 0 $. Então, as equações ficam:
Passo 4
Agora, vamos usar os dados fornecidos para encontrar $ A $ e $ \omega $. Temos duas situações:
-
Quando $ x_1 = 0,1 , m $ e $ v_1 = -1 , m/s $:Simplificando a segunda equação:
-
Quando $ x_2 = -0,2 , m $ e $ v_2 = 0,5 , m/s $:Simplificando a segunda equação:
Passo 5
Para resolver essas equações, vamos dividir a equação de posição pela equação de velocidade correspondente para cada caso, o que nos ajuda a eliminar $ A $ e $ \omega $:
Para o primeiro caso:
Isso nos dá uma relação entre $ \omega $ e $ t_1 $.
Passo 6
Fazendo o mesmo para o segundo caso:
Outra relação entre $ \omega $ e $ t_2 $.
Passo 7
Agora, temos duas equações que relacionam $ \omega $ com os tempos $ t_1 $ e $ t_2 $. Para encontrar $ \omega $, podemos dividir essas duas equações:
Isso simplifica para uma relação que podemos resolver para $ \omega $.
Passo 8
Após resolver as equações acima (o que envolve um pouco de trigonometria e álgebra), podemos encontrar o valor de $ \omega $. Com $ \omega $ conhecido, voltamos para uma das equações de posição para encontrar a amplitude $ A $.
Por exemplo, usando $ x_1 = A \cos(\omega t_1) $, uma vez que $ \omega $ está conhecido, podemos isolar $ A $:
Passo 9
Finalmente, com $ A $ e $ \omega $ encontrados, substituímos esses valores nas equações do movimento e da velocidade:
Resposta
As equações do movimento e da velocidade são: