Mostre que o movimento do centro de massa e o movimento interno de um sistema qualquer de partículas podem ser completamente separados (são totalmente independentes) no caso em que a força externa atuando no sistema é devido a um campo gravitacional uniforme (por exemplo, próximo a superfície da terra). Mostre em particular que existem duas leis de conservação de energia independentes.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que mostrar que o movimento do centro de massa e o movimento interno de um sistema de partículas podem ser totalmente separados quando a força externa é devida a um campo gravitacional uniforme, tipo o que sentimos aqui na Terra. Além disso, precisamos provar que existem duas leis de conservação de energia que são independentes. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de centro de massa, forças externas e internas, e conservação de energia na mecânica clássica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o centro de massa de um sistema de partículas. É um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as partículas, levando em conta suas massas. A fórmula para a posição do centro de massa ($ \vec{R} $) é:
onde $ M = \sum_{i} m_i $ é a massa total do sistema.
Passo 3
Agora, vamos considerar as forças atuando no sistema. Existem forças externas (como o campo gravitacional uniforme) e forças internas (entre as partículas do sistema). A ideia é mostrar que, sob um campo gravitacional uniforme, as forças internas não afetam o movimento do centro de massa.
Passo 4
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para o centro de massa. A força resultante externa ($ \vec{F}_{externa} $) é igual à massa total vezes a aceleração do centro de massa:
No caso de um campo gravitacional uniforme, a força externa é apenas a soma das forças gravitacionais sobre todas as partículas:
onde $ \vec{g} $ é a aceleração devida à gravidade.
Passo 5
Como o campo gravitacional é uniforme, isso significa que todas as partículas experimentam a mesma aceleração $ \vec{g} $. Assim, a equação do movimento do centro de massa fica:
Isso mostra que o movimento do centro de massa depende apenas da força externa e não das forças internas do sistema. Portanto, o movimento do centro de massa é independente do movimento interno das partículas.
Passo 6
Agora, vamos falar sobre a conservação de energia. Em um sistema fechado sem forças externas, a energia total (cinética + potencial) é conservada. Aqui, mesmo com a força externa do campo gravitacional, podemos separar a energia total em duas partes: a energia associada ao movimento do centro de massa e a energia interna (movimento relativo das partículas).
A energia total $ E $ pode ser escrita como:
onde $ v_{CM} $ é a velocidade do centro de massa e $ E_{interno} $ inclui todas as energias internas do sistema.
Passo 7
Como o movimento do centro de massa é independente do movimento interno, podemos dizer que cada parte da energia é conservada separadamente. Ou seja:
-
Energia do centro de massa: $ \frac{1}{2} M v_{CM}^2 $ é conservada porque $ \vec{a}_{CM} = \vec{g} $ é constante e não há trabalho sendo feito pelas forças internas.
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Energia interna: $ E_{interno} $ é conservada porque as forças internas são canceladas entre si (princípio da ação e reação) e não afetam a energia total interna.
Passo 8
Portanto, mostramos que o movimento do centro de massa e o movimento interno são independentes sob um campo gravitacional uniforme. Além disso, existe a conservação da energia do centro de massa e a conservação da energia interna, sendo estas duas leis independentes.
Resposta
Concluímos que, em um campo gravitacional uniforme, o movimento do centro de massa e o movimento interno de um sistema de partículas são totalmente independentes, e existem duas leis de conservação de energia separadas: uma para a energia associada ao centro de massa e outra para a energia interna do sistema.