Uma mola é esticada 10 cm por uma força de 3 N . Uma massa de 2 kg é pendurada pela mola e sofre uma força de atrito proporcional a sua velocidade (quando sua velocidade é
, a força de atrito é, em módulo, 30 N ). Supondo que a massa é puxada 5 cm para baixo e colocada em movimento com uma velocidade de
para baixo, determine a sua posição em qualquer instante de tempo. Se fosse possível alterar a força de atrito, quando deveria ser a constante de proporcionalidade entre a força de atrito e a velocidade para que o movimento fosse criticamente amortecido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma mola esticada por uma força, uma massa pendurada que se move com resistência do ar (ou atrito). A gente vai usar conceitos de física de movimento harmônico amortecido, que envolve a mola (Lei de Hooke), a força de atrito proporcional à velocidade e as leis de movimento de Newton. Precisamos achar a posição da massa em qualquer instante de tempo e descobrir qual deve ser a constante de atrito para que o movimento seja criticamente amortecido.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a constante elástica da mola, conhecida como
. Sabemos que uma força de 3 N estica a mola 10 cm (ou 0,1 m). Pela Lei de Hooke:
Onde:
Então, isolando
:
Passo 3
Agora, vamos montar a equação do movimento. Usamos a segunda lei de Newton:
Onde:
-
(massa) -
(aceleração) -
(constante da mola) -
é a força de atrito, com sendo a constante de proporcionalidade e a velocidade.
Reescrevendo a equação:
Passo 4
Vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem. A forma geral é:
Para resolver, assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação:
Dividindo por
(que nunca é zero):
Essa é a equação característica. Vamos encontrar as raízes
:
Passo 5
Agora, consideramos o tipo de amortecimento. Para amortecimento crítico, o discriminante da equação característica é zero:
Passo 6
Vamos encontrar a posição
com as condições iniciais:
- A massa é puxada 5 cm (0,05 m) para baixo:
(negativo porque é para baixo) - Colocada em movimento com velocidade de
(0,1 m/s) para baixo:
A solução geral para amortecimento crítico é:
Com
kg e
N·s/m:
Aplicando as condições iniciais:
Para
:
Para a velocidade
:
Aplicando
e
:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão de
:
Resposta
A posição da massa em qualquer instante de tempo é:
Além disso, para que o movimento seja criticamente amortecido, a constante de proporcionalidade entre a força de atrito e a velocidade deve ser aproximadamente
.