Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, que basicamente calcula o trabalho realizado por um campo vetorial
ao longo de um caminho
. O enunciado nos dá a expressão dessa integral parametrizada de
até
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre integrais de linha e parametrizações de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da integral. Temos dois termos principais que são produtos de funções trigonométricas. Vamos separar esses termos para facilitar a conta:
Passo 3
Vamos simplificar cada parte passo a passo. Começando pelo primeiro colchete:
Então, o primeiro colchete fica:
Agora, multiplicamos por
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar o segundo colchete:
Então, o segundo colchete fica:
Multiplicando por
:
Passo 5
Agora, vamos somar os dois resultados que obtivemos:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, nossa integral fica:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 7
Primeiro, vamos integrar
:
Fazendo a substituição
, então
. A integral se torna:
Avaliado de
a
, esse termo se anula porque
:
Passo 8
Segundo, vamos integrar
:
Usando a identidade
, temos:
Fazendo a substituição
,
:
Substituindo de volta:
Avaliado de
a
:
Passo 9
Por fim, vamos integrar
:
Usamos a identidade
:
Avaliado de
a
:
Resposta
A integral
é igual a
.