ointC F cdot d r=integral0^2 pi[((3 cos t)^3+(3 cos t)(2 sin t)^2)(-3 sin t)+((2 sin t)(3 cos t)^2+(2 sin t)^3+3(3 cos t))(2 cos t)] d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral de linha, que basicamente calcula o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de um caminho . O enunciado nos dá a expressão dessa integral parametrizada de até . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo vetorial, especialmente sobre integrais de linha e parametrizações de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão dentro da integral. Temos dois termos principais que são produtos de funções trigonométricas. Vamos separar esses termos para facilitar a conta:
[(3 cos t)^3 + (3 cos t)(2 sin t)^2](-3 sin t) + [(2 sin t)(3 cos t)^2 + (2 sin t)^3 + 3(3 cos t)](2 cos t)

Passo 3

Vamos simplificar cada parte passo a passo. Começando pelo primeiro colchete:
(3 cos t)^3 = 27 cos^3 t
(3 cos t)(2 sin t)^2 = 3 cos t cdot 4 sin^2 t = 12 cos t sin^2 t
Então, o primeiro colchete fica:
27 cos^3 t + 12 cos t sin^2 t
Agora, multiplicamos por (27 cos^3 t + 12 cos t sin^2 t)(-3 sin t) = -81 cos^3 t sin t - 36 cos t sin^3 t :

Passo 4

Agora, vamos simplificar o segundo colchete:
(2 sin t)(3 cos t)^2 = 2 sin t cdot 9 cos^2 t = 18 sin t cos^2 t
(2 sin t)^3 = 8 sin^3 t
3(3 cos t) = 9 cos t
Então, o segundo colchete fica:
18 sin t cos^2 t + 8 sin^3 t + 9 cos t
Multiplicando por (18 sin t cos^2 t + 8 sin^3 t + 9 cos t)(2 cos t) = 36 sin t cos^3 t + 16 sin^3 t cos t + 18 cos^2 t :

Passo 5

Agora, vamos somar os dois resultados que obtivemos:
-81 cos^3 t sin t - 36 cos t sin^3 t + 36 sin t cos^3 t + 16 sin^3 t cos t + 18 cos^2 t
Simplificando os termos semelhantes:
(-81 cos^3 t sin t + 36 cos^3 t sin t) + (-36 cos t sin^3 t + 16 cos t sin^3 t) + 18 cos^2 t
-45 cos^3 t sin t - 20 cos t sin^3 t + 18 cos^2 t

Passo 6

Agora, nossa integral fica:
integral0^2pi ( -45 cos^3 t sin t - 20 cos t sin^3 t + 18 cos^2 t ) dt
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 7

Primeiro, vamos integrar -45 integral cos^3 t sin t dt = -45 cdot ( -cos^4 t4 ) = 454 cos^4 t :
Fazendo a substituição 454 (1^4 - 1^4) = 0 , então . A integral se torna:
Avaliado de a , esse termo se anula porque :

Passo 8

Segundo, vamos integrar -20 integral cos t (1 - cos^2 t) sin t dt :
Usando a identidade -20 integral u (1 - u^2) (-du) = -20 integral (-u + u^3) du = -20 ( -u^22 + u^44 ) , temos:
-20 ( -cos^2 t2 + cos^4 t4 ) = 10 cos^2 t - 5 cos^4 t
Fazendo a substituição 10 (cos^2 2pi - cos^2 0) - 5 (cos^4 2pi - cos^4 0) = 10(1 - 1) - 5(1 - 1) = 0 , :
Substituindo de volta:
Avaliado de a :

Passo 9

Por fim, vamos integrar 18 integral 1 + cos 2t2 dt = 9 integral (1 + cos 2t) dt = 9 ( t + sin 2t2 ) :
Usamos a identidade 9 ( 2pi + sin 4pi2 - 0 - sin 02 ) = 9 (2pi + 0 - 0) = 18pi :
Avaliado de a :

Resposta

A integral é igual a .

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