Uma mola ideal pode ser comprimida até 2,00 cm por uma força de 270 N . Um bloco de 12,0 kg é solto do alto de um plano inclinado, cuja inclinação é de 30,0^circ com a horizontal. O bloco para momentaneamente após ter comprimido a mola 5,50 cm. Desprezando o atrito, responda: © Qual é a velocidade do bloco no momento em que a mola está comprimida 3,00 cm ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma mola que pode ser comprimida até com uma força de . Além disso, um bloco de é solto de um plano inclinado de . O bloco para momentaneamente após comprimir a mola . Queremos descobrir qual é a velocidade do bloco quando a mola está comprimida .
Vamos usar conceitos de Lei de Hooke para a mola e Conservação de Energia para relacionar as energias envolvidas no movimento do bloco.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a constante elástica F = k cdot x da mola usando a relação da força com a compressão máxima:
k = Fx = 270 N0,02 m = 13500 N/m
Onde:
  • (força aplicada)
  • (compressão máxima)
Rearranjando a fórmula para encontrar :

Passo 3

Agora, vamos analisar a situação quando a mola está comprimida Umola = 12 k x^2 . Nesse ponto, a energia do sistema está distribuída entre a energia cinética do bloco e a energia potencial da mola.
A Energia Potencial Elástica da mola é dada por:
K = 12 m v^2
E a Energia Cinética do bloco é:
Onde:
  • (massa do bloco)
  • é a velocidade que queremos encontrar
  • (compressão da mola)

Passo 4

Além disso, o bloco desce o plano inclinado, convertendo energia potencial gravitacional em energia cinética e potencial da mola. A Energia Potencial Gravitacional é:
Ugrav = m g h
Onde:
  • h = x cdot sin(theta) (aceleração da gravidade)
  • h = 0,03 m cdot sin(30,0^circ) = 0,03 m cdot 0,5 = 0,015 m é a altura correspondente à compressão da mola.
Para um plano inclinado de , a altura pode ser relacionada à compressão da mola pela relação:
Substituindo :

Passo 5

Aplicando o Princípio da Conservação da Energia:
Ugrav = K + Umola
Substituindo as expressões:
m g h = 12 m v^2 + 12 k x^2
Substituindo os valores conhecidos:
12,0 kg cdot 9,81 m/s^2 cdot 0,015 m = 12 cdot 12,0 kg cdot v^2 + 12 cdot 13500 N/m cdot (0,03 m)^2

Passo 6

Calculando cada termo:
Primeiro, a energia potencial gravitacional:
12,0 cdot 9,81 cdot 0,015 = 1,7646 J
Segundo, a energia potencial da mola:
12 cdot 13500 cdot (0,03)^2 = 12 cdot 13500 cdot 0,0009 = 6,075 J

Passo 7

Substituindo novamente na equação:
1,7646 = 12 cdot 12,0 cdot v^2 + 6,075
Isolando o termo com 12 cdot 12,0 cdot v^2 = 1,7646 - 6,075 = -4,3104 :

Passo 8

Aqui percebemos que o lado direito da equação resultou em um valor negativo, o que não faz sentido fisicamente para energia. Isso indica que, quando a mola está comprimida , todo a energia potencial gravitacional já foi convertida em energia da mola, e o bloco ainda está desacelerando.
Portanto, nesse ponto, o bloco ainda não atingiu a velocidade máxima e está em transição para parar quando a mola é comprimida completamente.

Passo 9

Na verdade, a energia potencial gravitacional disponível não é suficiente para comprimir a mola até com a energia cinética positiva do bloco, indicando que o bloco para antes de atingir essa compressão.
Logo, a velocidade do bloco no momento em que a mola está comprimida é 0 m/s.

Resposta

A velocidade do bloco quando a mola está comprimida é .

Exercícios relacionados

Um avião, fazendo um mergulho a 726,8 km / h sob um ângulo de 37,0^circ com a horizontal, solta um projétil de uma altitude de 730 m . Despreze os efeitos do atrito do projétil com o ar. Usando a conservação da energia, calcule o módulo da velocidade de impacto do projétil com o solo e compare com o resultado obtido na Lista 1.
(b) Até que altura deverá se elevar uma partícula que tem uma velocidade inicial de 1000 m / s, orientada de baixo para cima?
Um bloco, de massa 4 kg e velocidade v, desliza sobre uma superfície sem atrito e colide com uma mola horizontal, a qual requer 6,4 N para uma compressão de 2 cm .
(a) Calcule a velocidade de escape de um planeta hipotético de raio igual a 500 km , e cuja aceleração da gravidade na superfície é g0=3,00 m / s^2.