Uma molécula no estado vibracional v=0, l=1 absorve um fóton de frequência 1,493 times 10^14 Hz e sofre uma transição para o estado v=1, l=2, permanecendo no estado eletrônico fundamental. Em seguida sofre uma transição para o estado v=0, l=3 emitindo um fóton de frequência 1,276 times 10^14 Hz. Determine a frequência vibracional f para a distância de equilíbrio r0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma molécula que está inicialmente no estado vibracional Ev = hbar omega (v + 12) e no estado rotacional El = B l(l + 1) . Ela absorve um fóton com frequência Hz, mudando para o estado , . Depois, a molécula retorna para o estado , , emitindo um fóton com frequência Hz. Nosso objetivo é determinar a frequência vibracional para a distância de equilíbrio .
Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia vibracional e rotacional das moléculas funciona. Vamos usar as seguintes informações:
  1. Níveis de Energia Vibracional: A energia vibracional de uma molécula pode ser descrita pela fórmula:
    onde é a constante de Planck reduzida, é a frequência angular, e é o número quântico vibracional.
  2. Níveis de Energia Rotacional: A energia rotacional é dada por:
    onde é a constante rotacional, e é o n��mero quântico rotacional.
Vamos usar essas fórmulas para calcular a frequência vibracional .

Passo 2

Vamos analisar a primeira transição: a molécula passa do estado hf1 = De para hf1 = hbar omega (1 + 12) + B cdot 2 cdot 3 - [hbar omega (0 + 12) + B cdot 1 cdot 2] ao absorver um fóton de frequência hf1 = hbar omega (32 - 12) + B(6 - 2) = hbar omega (1) + 4B Hz.
A energia absorvida pelo fóton é igual à diferença de energia entre os dois estados:
hbar omega + 4B = h f1
Substituindo as expressões das energias vibracional e rotacional:
h2pi cdot 2pi f + 4B = h f1 Rightarrow h f + 4B = h f1
Simplificando:
f + 4Bh = f1
Então:
Como e :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 3

Agora, vamos analisar a segunda transição: a molécula passa do estado hf2 = De para hf2 = [hbar omega (1 + 12) + B cdot 2 cdot 3] - [hbar omega (0 + 12) + B cdot 3 cdot 4] ao emitir um fóton de frequência hf2 = hbar omega (32 - 12) + B(6 - 12) = hbar omega (1) - 6B Hz.
A energia emitida pelo fóton é igual à diferença de energia entre os dois estados:
hbar omega - 6B = h f2
Substituindo as expressões das energias:
h f - 6B = h f2
Simplificando:
f - 6Bh = f2
Então:
Substituindo :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
  1. (f + 4Bh) - (f - 6Bh) = f1 - f2
  2. f + 4Bh - f + 6Bh = f1 - f2 Rightarrow 10Bh = f1 - f2
Vamos resolver esse sistema para encontrar B = h(f1 - f2)10 .
Primeiro, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Simplificando:
Isolando :

Passo 5

Agora que temos f + 4Bh = f1 em termos de f + 4 times h(f1 - f2)10h = f1 e f + 4(f1 - f2)10 = f1 Rightarrow f = f1 - 4(f1 - f2)10 , podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar f = f1 - 25(f1 - f2) = 5f1 - 2f1 + 2f25 = 3f1 + 2f25 :
Substituindo :
Simplificando:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 6

Agora, basta substituir os valores numéricos das frequências fornecidas na questão:
f = 3 times 1,493 times 10^14 , Hz + 2 times 1,276 times 10^14 , Hz5
Calculando:
f = 4,479 times 10^14 , Hz + 2,552 times 10^14 , Hz5 = 7,031 times 10^14 , Hz5 = 1,4062 times 10^14 , Hz

Resposta

A frequência vibracional para a distância de equilíbrio é aproximadamente .

Exercícios relacionados