Uma molécula no estado vibracional
absorve um fóton de frequência
e sofre uma transição para o estado
, permanecendo no estado eletrônico fundamental. Em seguida sofre uma transição para o estado
,
emitindo um fóton de frequência
. Determine a frequência vibracional
para a distância de equilíbrio
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está nos pedindo. Temos uma molécula que está inicialmente no estado vibracional
e no estado rotacional
. Ela absorve um fóton com frequência
Hz, mudando para o estado
,
. Depois, a molécula retorna para o estado
,
, emitindo um fóton com frequência
Hz. Nosso objetivo é determinar a frequência vibracional
para a distância de equilíbrio
.
Para resolver isso, vamos precisar entender como a energia vibracional e rotacional das moléculas funciona. Vamos usar as seguintes informações:
-
Níveis de Energia Vibracional: A energia vibracional de uma molécula pode ser descrita pela fórmula:onde
é a constante de Planck reduzida, é a frequência angular, e é o número quântico vibracional. -
Níveis de Energia Rotacional: A energia rotacional é dada por:onde
é a constante rotacional, e é o n��mero quântico rotacional.
Vamos usar essas fórmulas para calcular a frequência vibracional
.
Passo 2
Vamos analisar a primeira transição: a molécula passa do estado
para
ao absorver um fóton de frequência
Hz.
A energia absorvida pelo fóton é igual à diferença de energia entre os dois estados:
Substituindo as expressões das energias vibracional e rotacional:
Simplificando:
Então:
Como
e
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos analisar a segunda transição: a molécula passa do estado
para
ao emitir um fóton de frequência
Hz.
A energia emitida pelo fóton é igual à diferença de energia entre os dois estados:
Substituindo as expressões das energias:
Simplificando:
Então:
Substituindo
:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora temos duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
.
Primeiro, vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Simplificando:
Isolando
:
Passo 5
Agora que temos
em termos de
e
, podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar
:
Substituindo
:
Simplificando:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 6
Agora, basta substituir os valores numéricos das frequências fornecidas na questão:
Calculando:
Resposta
A frequência vibracional
para a distância de equilíbrio
é aproximadamente
.