Podemos construir um estado do átomo de hidrogênio pela superposição dos autoestados
e
. Mostre que, a superposição é autoestado simultâneo de
e
, mas não de
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma superposição dos autoestados
e
é um autoestado simultâneo do Hamiltoniano
e de
, mas não de
. Estamos lidando com a mecânica quântica, mais especificamente com os autoestados do átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autoestados, operadores como
,
e
, e como esses operadores agem nas superposições de estados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no átomo de hidrogênio, os autoestados
são soluções da equação de Schrödinger e são caracterizados por três números quânticos:
(número quântico principal),
(número quântico azimutal) e
(número quântico magnético). Esses estados são autoestados simultâneos dos operadores
(Hamiltoniano),
(quadrado do operador momento angular) e
(componente z do momento angular).
Passo 3
Vamos considerar a superposição dos estados
e
:
onde
e
são coeficientes complexos.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar se
é um autoestado do Hamiltoniano
. Sabemos que
, onde
é a energia associada ao nível
.
Aplicando
em
:
Isso mostra que
é um autoestado de
com valor próprio
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se
é um autoestado de
. Sabemos que
.
Aplicando
em
:
Então,
é também um autoestado de
com valor próprio
.
Passo 6
Por fim, vamos verificar se
é um autoestado de
, onde
representa o operador momento angular total. O operador
não necessariamente comuta com os estados que têm diferentes componentes de
.
Aplicando
em
:
No entanto, os estados
e
têm diferentes números quânticos magnéticos
e
, respectivamente. Isso implica que
altera o valor de
, e a superposição de estados com diferentes
não será um autoestado de
.
Resposta
Portanto, a superposição
é um autoestado simultâneo de
e
, mas não é um autoestado de
.