Podemos construir um estado do átomo de hidrogênio pela superposição dos autoestados psi310(r, theta, varphi) e psi311(r, theta, varphi). Mostre que, a superposição é autoestado simultâneo de H e L^2, mas não de L.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que uma superposição dos autoestados e é um autoestado simultâneo do Hamiltoniano e de , mas não de . Estamos lidando com a mecânica quântica, mais especificamente com os autoestados do átomo de hidrogênio. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são autoestados, operadores como , e , e como esses operadores agem nas superposições de estados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no átomo de hidrogênio, os autoestados são soluções da equação de Schrödinger e são caracterizados por três números quânticos: (número quântico principal), (número quântico azimutal) e (número quântico magnético). Esses estados são autoestados simultâneos dos operadores (Hamiltoniano), (quadrado do operador momento angular) e (componente z do momento angular).

Passo 3

Vamos considerar a superposição dos estados Psi = a psi310 + b psi311 e :
onde e são coeficientes complexos.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar se H Psi = H (a psi310 + b psi311) = a H psi310 + b H psi311 = a E3 psi310 + b E3 psi311 = E3 (a psi310 + b psi311) = E3 Psi é um autoestado do Hamiltoniano . Sabemos que , onde é a energia associada ao nível .
Aplicando em :
Isso mostra que é um autoestado de com valor próprio .

Passo 5

Agora, vamos verificar se L^2 Psi = L^2 (a psi310 + b psi311) = a L^2 psi310 + b L^2 psi311 = a hbar^2 1(1+1) psi310 + b hbar^2 1(1+1) psi311 = 2 hbar^2 (a psi310 + b psi311) = 2 hbar^2 Psi é um autoestado de . Sabemos que .
Aplicando em :
Então, é também um autoestado de com valor próprio .

Passo 6

Por fim, vamos verificar se L Psi = L (a psi310 + b psi311) = a L psi310 + b L psi311 é um autoestado de , onde representa o operador momento angular total. O operador não necessariamente comuta com os estados que têm diferentes componentes de .
Aplicando em :
No entanto, os estados e têm diferentes números quânticos magnéticos e , respectivamente. Isso implica que altera o valor de , e a superposição de estados com diferentes não será um autoestado de .

Resposta

Portanto, a superposição é um autoestado simultâneo de e , mas não é um autoestado de .

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