O momento angular de um elétron em uma órbita de Bobr, de um átomo de K, é 4,2178 times 10^-34 kg m^2 s^-1. Calcule a linha espectral emitida quando um elétron cai deste nível para o próximo nivel mais baixo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o momento angular de um elétron numa órbita de Bohr em um átomo de potássio (K). A gente precisa descobrir qual é a linha espectral emitida quando esse elétron dá uma “cambalhota” do nível de energia atual para o próximo nível mais baixo. Para resolver isso, vamos usar a teoria do modelo de Bohr, que explica como os elétrons se movem em órbitas específicas ao redor do núcleo e como suas transições geram luz com diferentes comprimentos de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Bohr, o momento angular L = n hbar de um elétron é quantizado e dado por:
4,2178 times 10^-34 = n times 1,0545718 times 10^-34
onde:
  • n = 4,2178 times 10^-341,0545718 times 10^-34 approx 4 é o número quântico principal (número da órbita),
  • é a constante de Planck reduzida, aproximadamente .
Sabemos que o momento angular fornecido é . Vamos igualar isso à fórmula de Bohr para encontrar o número quântico :
Resolvendo para :
Então, o elétron está na quarta órbita ( ).

Passo 3

Agora, vamos calcular as energias dos níveis En = -R Z^2n^2 e E4 = -2,18 times 10^-18 times 19^24^2 = -2,18 times 10^-18 times 36116 approx -4,918 times 10^-17 , J no átomo de potássio. A energia de um nível no modelo de Bohr é dada por:
E3 = -2,18 times 10^-18 times 19^23^2 = -2,18 times 10^-18 times 3619 approx -8,737 times 10^-17 , J
onde:
  • é a constante de Rydberg ( ),
  • é o número atômico do elemento (para potássio, ),
  • é o número quântico principal.
Calculando para :
E para :

Passo 4

A diferença de energia De entre os níveis De e é o que vai determinar a energia da luz emitida:
Como a energia emitida é positiva, consideramos o valor absoluto:

Passo 5

Agora, vamos converter essa energia para o comprimento de onda De da luz emitida usando a relação entre energia e comprimento de onda:
lambda = hcDe
onde:
  • lambda approx 5,21 times 10^-9 times 10^9 = 5210 , nm é a constante de Planck ( ),
  • é a velocidade da luz ( ).
Resolvendo para :
Convertendo para nanômetros (já que ):

Resposta

A linha espectral emitida tem um comprimento de onda de aproximadamente 5210 nanômetros.

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