O momento angular de um elétron em uma órbita de Bobr, de um átomo de K, é
. Calcule a linha espectral emitida quando um elétron cai deste nível para o próximo nivel mais baixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre o momento angular de um elétron numa órbita de Bohr em um átomo de potássio (K). A gente precisa descobrir qual é a linha espectral emitida quando esse elétron dá uma “cambalhota” do nível de energia atual para o próximo nível mais baixo. Para resolver isso, vamos usar a teoria do modelo de Bohr, que explica como os elétrons se movem em órbitas específicas ao redor do núcleo e como suas transições geram luz com diferentes comprimentos de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que no modelo de Bohr, o momento angular
de um elétron é quantizado e dado por:
onde:
-
é o número quântico principal (número da órbita), -
é a constante de Planck reduzida, aproximadamente .
Sabemos que o momento angular fornecido é
. Vamos igualar isso à fórmula de Bohr para encontrar o número quântico
:
Resolvendo para
:
Então, o elétron está na quarta órbita (
).
Passo 3
Agora, vamos calcular as energias dos níveis
e
no átomo de potássio. A energia de um nível no modelo de Bohr é dada por:
onde:
-
é a constante de Rydberg ( ), -
é o número atômico do elemento (para potássio, ), -
é o número quântico principal.
Calculando para
:
E para
:
Passo 4
A diferença de energia
entre os níveis
e
é o que vai determinar a energia da luz emitida:
Como a energia emitida é positiva, consideramos o valor absoluto:
Passo 5
Agora, vamos converter essa energia para o comprimento de onda
da luz emitida usando a relação entre energia e comprimento de onda:
onde:
-
é a constante de Planck ( ), -
é a velocidade da luz ( ).
Resolvendo para
:
Convertendo para nanômetros (já que
):
Resposta
A linha espectral emitida tem um comprimento de onda de aproximadamente 5210 nanômetros.