O momento angular de uma partícula, calculado em relação a um ponto O parado em relação à Terra, é dado por L0=2 t i+2 t^2 j, onde t é dado em segundos.
Calcule o módulo deste torque para t=1 s.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício sobre momento angular de uma partícula em relação a um ponto fixo O, que está parado em relação à Terra. A expressão do momento angular é dada por L0=2 t i + 2 t^2 j, onde t está em segundos. A gente precisa calcular o módulo do torque dessa partícula quando t = 1 segundo. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é torque e como ele se relaciona com o momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o torque ( tau) é uma medida de como uma força faz um objeto girar em torno de um ponto. Matematicamente, o torque é a derivada do momento angular em relação ao tempo:
tau = dLdt
Ou seja, para encontrar o torque, a gente precisa derivar a expressão do momento angular em relação ao tempo.

Passo 3

Vamos derivar cada componente de L0 = 2 t i + 2 t^2 j em relação a t:
  • A derivada de 2t em relação a t é 2.
  • A derivada de 2t^2 em relação a t é 4t.
Então, o torque fica:
tau = 2 i + 4t j

Passo 4

Agora, a gente quer o módulo desse torque quando t = 1 segundo. Primeiro, substituímos t por 1 na expressão do torque:
tau = 2 i + 4(1) j = 2 i + 4 j

Passo 5

Para encontrar o módulo do torque, usamos a fórmula do módulo de um vetor:
|tau| = raiz(2)^2 + (4)^2 = raiz4 + 16 = raiz20 = 2raiz5

Resposta

O módulo do torque para t = 1 segundo é 2raiz5 unidades.

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