O vetor posição de èuma partícula de massa 2 kg em relação a um observador inercial fixo num ponto O é dado por r=2 t^2 i+t j+t^4 k, onde todas as unidades são do SI.
Calcule d widetildeL0d t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula de massa 2 kg cuja posição em função do tempo é dada por r = 2 t^2 i + t j + t^4 k. O que precisamos calcular é a derivada do momento angular widetildeL0 em relação ao tempo, ou seja, d widetildeL0dt. Para isso, vamos usar conceitos de movimento vetorial e momento angular.

Passo 2

O momento angular L de uma partícula em relação a um ponto O é dado por:
L = r times p
onde r é o vetor posição e p é o momento linear da partícula. O momento linear p é calculado por:
p = m v
com m sendo a massa e v a velocidade da partícula.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a velocidade v derivando o vetor posição r em relação ao tempo:
v = drdt = ddt(2 t^2 i + t j + t^4 k) = 4 t i + j + 4 t^3 k

Passo 4

Agora, calculamos o momento linear p multiplicando a massa pela velocidade:
p = m v = 2 , kg times (4 t i + j + 4 t^3 k) = 8 t i + 2 j + 8 t^3 k

Passo 5

Em seguida, calculamos o momento angular L usando o produto vetorial entre r e p:
L = r times p = i & j & k 2 t^2 & t & t^4 8 t & 2 & 8 t^3
Calculando o determinante:
L = i(t cdot 8 t^3 - t^4 cdot 2) - j(2 t^2 cdot 8 t^3 - t^4 cdot 8 t) + k(2 t^2 cdot 2 - t cdot 8 t)
Simplificando:
L = i(8 t^4 - 2 t^4) - j(16 t^5 - 8 t^5) + k(4 t^2 - 8 t^2)
L = 6 t^4 i - 8 t^5 j - 4 t^2 k

Passo 6

Finalmente, para encontrar a derivada do momento angular em relação ao tempo, derivamos cada componente de L:
dLdt = ddt(6 t^4 i - 8 t^5 j - 4 t^2 k) = 24 t^3 i - 40 t^4 j - 8 t k

Resposta

A derivada do momento angular em relação ao tempo é:
d widetildeL0dt = 24 t^3 i - 40 t^4 j - 8 t k

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