Uma partícula no plano x y é atraída para a origem por uma força cujo módulo é inversamente proporcional à sua distância do eixo x, F=k / y. Calcule o trabalho realizado pela força sobre a partícula, sabendo que a partícula se desloca do ponto (x=0, y=a) para o ponto (x=2 a, y=0). A trajetória da partícula consiste de dois segmentos retilíneos: o primeiro de (x=0, y=a) até (x=2 a, y=a) e o segundo de (x=2 a, y=a) até (x=2 a, y=0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo no plano xy, sujeita a uma força que puxa ela em direção à origem. O módulo dessa força é inversamente proporcional à distância dela do eixo x, ou seja, . A tarefa é calcular o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca de até em dois caminhos retilíneos: primeiro de a e depois de a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho.

Passo 2

Vamos lembrar que o trabalho W = integral F cdot ds realizado por uma força ao longo de um trajeto é dado pela integral de , onde é um elemento de deslocamento na trajetória. Ou seja:
Nosso objetivo é calcular essa integral para cada segmento da trajetória e depois somar os resultados.

Passo 3

Primeiro, vamos analisar o primeiro segmento do movimento: de Fx = -ka cdot xraizx^2 + a^2 a Fy = -ka cdot araizx^2 + a^2 = -kraizx^2 + a^2 . Nesse trecho, a coordenada W1 = integral0^2a Fx , dx permanece constante em , e a partícula se desloca apenas ao longo do eixo de até .
A força tem direção em direção à origem, então podemos decompor em suas componentes e . Como a força é inversamente proporcional a , temos . Neste segmento, , então .
A direção da força aponta para a origem, então:
No entanto, como é constante e o deslocamento ocorre apenas em , a componente não contribui para o trabalho nesse segmento. Portanto, o trabalho no primeiro segmento é:

Passo 4

Vamos calcular W1 = integral0^2a -ka cdot xraizx^2 + a^2 , dx :
W1 = -ka cdot 12 integrala^2^4a^2 + a^2 1raizu , du = -k2a cdot [ 2raizu ]a^2^5a^2
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja W1 = -k2a cdot ( 2raiz5a^2 - 2raiza^2 ) = -k2a cdot 2a(raiz5 - 1) = -k(raiz5 - 1) , então , ou seja, . A integral torna-se:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos para o segundo segmento: de Fx = -ky cdot 2araiz(2a)^2 + y^2 = -2akyraiz4a^2 + y^2 a Fy = -ky cdot yraiz4a^2 + y^2 = -kraiz4a^2 + y^2 . Nesse trecho, a coordenada W2 = integrala^0 Fy , dy = integral0^a kraiz4a^2 + y^2 , dy permanece constante em , e a partícula se desloca apenas ao longo do eixo de até .
A força ainda aponta para a origem, então suas componentes são:
Nesse caso, o deslocamento ocorre apenas em , então a componente não contribui para o trabalho. Portanto, o trabalho no segundo segmento é:

Passo 6

Vamos calcular W2 = k integral0^a 1raiz4a^2 + y^2 , dy :
W2 = k integral0^tan^-1(a2a) 2a sec^2 theta2a sec theta , dtheta = k integral0^tan^-1(12) sec theta , dtheta
Fazendo a substituição W2 = k [ ln|sec theta + tan theta| ]0^tan^-1(12) = k ln(sec(tan^-1(12)) + tan(tan^-1(12))) - k ln(1 + 0) , então W2 = k ln(raiz1 + (12)^2 + 12) = k ln(raiz54 + 12) = k ln(raiz52 + 12) = k ln(raiz5 + 12) e . A integral se torna:
A integral de é , então:
Simplificando:

Resposta

O trabalho total realizado pela força sobre a partícula durante todo o deslocamento é:
W = -k(raiz5 - 1) + k ln(raiz5 + 12)

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