Uma partícula no plano
é atraída para a origem por uma força cujo módulo é inversamente proporcional à sua distância do eixo
. Calcule o trabalho realizado pela força sobre a partícula, sabendo que a partícula se desloca do ponto
para o ponto
. A trajetória da partícula consiste de dois segmentos retilíneos: o primeiro de
até
e o segundo de
até
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma partícula se movendo no plano xy, sujeita a uma força que puxa ela em direção à origem. O módulo dessa força é inversamente proporcional à distância dela do eixo x, ou seja,
. A tarefa é calcular o trabalho realizado por essa força quando a partícula se desloca de
até
em dois caminhos retilíneos: primeiro de
a
e depois de
a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de trabalho realizado por uma força ao longo de um caminho.
Passo 2
Vamos lembrar que o trabalho
realizado por uma força
ao longo de um trajeto é dado pela integral de
, onde
é um elemento de deslocamento na trajetória. Ou seja:
Nosso objetivo é calcular essa integral para cada segmento da trajetória e depois somar os resultados.
Passo 3
Primeiro, vamos analisar o primeiro segmento do movimento: de
a
. Nesse trecho, a coordenada
permanece constante em
, e a partícula se desloca apenas ao longo do eixo
de
até
.
A força
tem direção em direção à origem, então podemos decompor
em suas componentes
e
. Como a força é inversamente proporcional a
, temos
. Neste segmento,
, então
.
A direção da força aponta para a origem, então:
No entanto, como
é constante e o deslocamento ocorre apenas em
, a componente
não contribui para o trabalho nesse segmento. Portanto, o trabalho no primeiro segmento é:
Passo 4
Vamos calcular
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Seja
, então
, ou seja,
. A integral torna-se:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos para o segundo segmento: de
a
. Nesse trecho, a coordenada
permanece constante em
, e a partícula se desloca apenas ao longo do eixo
de
até
.
A força
ainda aponta para a origem, então suas componentes são:
Nesse caso, o deslocamento ocorre apenas em
, então a componente
não contribui para o trabalho. Portanto, o trabalho no segundo segmento é:
Passo 6
Vamos calcular
:
Fazendo a substituição
, então
e
. A integral se torna:
A integral de
é
, então:
Simplificando:
Resposta
O trabalho total realizado pela força sobre a partícula durante todo o deslocamento é: