Uma partícula de massa m desloca-se com velocidade constante (em módulo) v ao longo de um círculo de raio r, partindo no instante t=0 de um ponto P localizado sobre o círculo.
a) Determine o momento angular Lp, em relação ao ponto P, a partir da definição de momento angular;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula de massa que se move com velocidade constante ao longo de um círculo de raio , começando do ponto no instante . A gente precisa descobrir o momento angular em relação ao ponto , usando a definição de momento angular. Vamos usar conceitos de cinemática circular e a definição de momento angular para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é momento angular. O momento angular L = r times p de uma partícula em relação a um ponto é dado pelo produto vetorial do vetor posição em relação a esse ponto e o momento linear da partícula:
Onde , sendo a velocidade da partícula.

Passo 3

Agora, precisamos definir o vetor posição da partícula em relação ao ponto . Como a partícula está se movendo em um círculo, no instante geral, a posição dela em relação ao centro do círculo forma um ângulo com a posição inicial. Então, o vetor posição relativo a pode ser encontrado usando a geometria do círculo.

Passo 4

Vamos calcular a distância entre o ponto rp = 2r sin(theta2) e a posição atual da partícula. Essa distância forma um triângulo isósceles com os dois raios do círculo. Usando trigonometria, a distância é:
Onde e é a velocidade angular.

Passo 5

Agora, o momento angular Lp = rp cdot p cdot sin(phi) em relação a Lp = rp cdot p = 2r sin(theta2) cdot m v é dado por:
Aqui, é o ângulo entre o vetor posição e o vetor momento linear . Como a partícula está se movendo perpendicularmente ao vetor posição em movimento circular, e . Então,

Passo 6

Substituindo Lp = 2r sin(v t2r) cdot m v :
Lp = 2m v r sin(v t2r)
Portanto, o momento angular em relação ao ponto é:

Resposta

O momento angular Lp = 2m v r sin(v t2r) em relação ao ponto é:

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