Seja um campo elétrico se propagando no vácuo conforme
Mostre que obedece a equação de onda e deduza a velocidade da propagação desta onda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta um campo elétrico que está se propagando no vácuo, dado pela expressão:
Aqui, estamos trabalhando com ondas eletromagnéticas e equações de onda. Para mostrar que esse campo elétrico obedece à equação de onda, vamos precisar calcular as derivadas espaciais e temporais da função E e comparar com a forma geral da equação de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda para um campo elétrico no vácuo. Ela é dada por:
Aqui, é o operador laplaciano, é a permeabilidade do vácuo, e é a permissividade do vácuo. Essa equação relaciona as derivadas espaciais e temporais do campo elétrico.

Passo 3

Vamos calcular a derivada espacial de segunda ordem de em relação a . Como só depende de e , temos:
E a segunda derivada é:
Portanto, o laplaciano de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada temporal de segunda ordem de :
E a segunda derivada é:

Passo 5

Agora, vamos substituir as derivadas na equação de onda:
Simplificando os sinais negativos:
Podemos cancelar de ambos os lados:

Passo 6

Agora, vamos resolver para a velocidade de propagação . Sabemos que a relação entre e é:
Onde é o número de onda. Substituindo isso na equação anterior:

Resposta

A expressão do campo elétrico satisfaz a equação de onda, e a velocidade de propagação dessa onda é:

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