Seja um campo elétrico se propagando no vácuo conforme E=E0 cos (2 pilambda y-omega t) x
Mostre que E obedece a equação de onda e deduza a velocidade da propagação desta onda.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta um campo elétrico que está se propagando no vácuo, dado pela expressão:
E = E0 cos (2 pilambda y - omega t) x
Aqui, estamos trabalhando com ondas eletromagnéticas e equações de onda. Para mostrar que esse campo elétrico obedece à equação de onda, vamos precisar calcular as derivadas espaciais e temporais da função E e comparar com a forma geral da equação de onda.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda para um campo elétrico no vácuo. Ela é dada por:
nabla^2 E = mu0 varepsilon0 partial^2 Epartial t^2
Aqui, é o operador laplaciano, é a permeabilidade do vácuo, e é a permissividade do vácuo. Essa equação relaciona as derivadas espaciais e temporais do campo elétrico.

Passo 3

Vamos calcular a derivada espacial de segunda ordem de partial Epartial y = -E0 2pilambda sin(2pilambda y - omega t) x em relação a partial^2 Epartial y^2 = -E0 (2pilambda)^2 cos(2pilambda y - omega t) x . Como nabla^2 E = partial^2 Epartial y^2 = -E0 (2pilambda)^2 cos(2pilambda y - omega t) x só depende de e , temos:
E a segunda derivada é:
Portanto, o laplaciano de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada temporal de segunda ordem de partial Epartial t = E0 omega sin(2pilambda y - omega t) x :
partial^2 Epartial t^2 = -E0 omega^2 cos(2pilambda y - omega t) x
E a segunda derivada é:

Passo 5

Agora, vamos substituir as derivadas na equação de onda:
-(2pilambda)^2 E0 cos(2pilambda y - omega t) x = mu0 varepsilon0 (-omega^2 E0 cos(2pilambda y - omega t)) x
Simplificando os sinais negativos:
(2pilambda)^2 E0 cos(2pilambda y - omega t) x = mu0 varepsilon0 omega^2 E0 cos(2pilambda y - omega t) x
Podemos cancelar (2pilambda)^2 = mu0 varepsilon0 omega^2 de ambos os lados:

Passo 6

Agora, vamos resolver para a velocidade de propagação v = omegak . Sabemos que a relação entre k^2 = mu0 varepsilon0 omega^2 (omegav)^2 = mu0 varepsilon0 omega^2 1v^2 = mu0 varepsilon0 v = 1raizmu0 varepsilon0 e é:
Onde é o número de onda. Substituindo isso na equação anterior:

Resposta

A expressão do campo elétrico v = 1raizmu0 varepsilon0 satisfaz a equação de onda, e a velocidade de propagação dessa onda é:

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