Seja um campo elétrico se propagando no vácuo conforme
Mostre que
obedece a equação de onda e deduza a velocidade da propagação desta onda.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos apresenta um campo elétrico que está se propagando no vácuo, dado pela expressão:
Aqui, estamos trabalhando com ondas eletromagnéticas e equações de onda. Para mostrar que esse campo elétrico obedece à equação de onda, vamos precisar calcular as derivadas espaciais e temporais da função E e comparar com a forma geral da equação de onda.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação de onda para um campo elétrico no vácuo. Ela é dada por:
Aqui,
é o operador laplaciano,
é a permeabilidade do vácuo, e
é a permissividade do vácuo. Essa equação relaciona as derivadas espaciais e temporais do campo elétrico.
Passo 3
Vamos calcular a derivada espacial de segunda ordem de
em relação a
. Como
só depende de
e
, temos:
E a segunda derivada é:
Portanto, o laplaciano de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada temporal de segunda ordem de
:
E a segunda derivada é:
Passo 5
Agora, vamos substituir as derivadas na equação de onda:
Simplificando os sinais negativos:
Podemos cancelar
de ambos os lados:
Passo 6
Agora, vamos resolver para a velocidade de propagação
. Sabemos que a relação entre
e
é:
Onde
é o número de onda. Substituindo isso na equação anterior:
Resposta
A expressão do campo elétrico
satisfaz a equação de onda, e a velocidade de propagação dessa onda é:
Exercícios relacionados
Uma microonda, linearmente polarizada, com o comprimento de onda de 1.5 cm , propaga-se ao longo do eixo dos
positivos. O vetor de campo elétrico tem o valor máximo de
e vibra no plano
.
Calcule o vetor de Poynting dessa onda.
Calcule o vetor de Poynting dessa onda.
Determine o valor absoluto de
entre as placas, a uma distância
do eixo do capacitor, em termos de
e
.
Momento dipolar magnético de uma agulha de bússola. Uma agulha de bússola feita de ferro puro (cuja massa específica é
) tem
de comprimento,
de largura e
de espessura.
O módulo do momento dipolar magnético de um átomo de ferro é
.
Se a magnetização da agulha equivale ao alinhamento de dos átomos, qual é o módulo do momento dipolar magnético da agulha?
O módulo do momento dipolar magnético de um átomo de ferro é
Se a magnetização da agulha equivale ao alinhamento de
Suponha que você fique no sol por
, expondo uma área de
a
dos raios de sol de
de intensidade. Supondo que a absorção dos raios seja completa, qual é a quantidade de movimento fornecida ao seu corpo?