O momento de dipolo magnético de um átomo de ferro é 2,219 mB.
(a) Se todos os átomos numa barra de ferro de 20 cm , com a área da seção reta 2 cm^2, estiverem com os momentos de dipolo alinhados, qual 0 momento de dipolo da barra? (b) Qual o torque que deve ser aplicado para manter a barra de ferro numa posição perpendicular à direção de um campo magnético de 0,25 T ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre o momento de dipolo magnético em um átomo de ferro. A gente sabe que cada átomo de ferro tem um momento de dipolo magnético igual a , onde é o momento de Bohr. O problema quer que a gente calcule:
a) O momento de dipolo total de uma barra de ferro de 20 cm de comprimento e seção reta de , assumindo que todos os momentos dos átomos estão alinhados.
b) O torque necessário para manter essa barra numa posição perpendicular a um campo magnético de .
Para resolver isso, vamos precisar saber como somar os momentos de dipolo dos átomos e como calcular o torque em um campo magnético. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento de dipolo total da barra de ferro. Sabemos que cada átomo tem um momento de dipolo . Para achar o total, precisamos saber quantos átomos estão na barra.
Mas o exercício não nos dá o número de átomos diretamente. Então, vamos considerar que a barra está completamente alinhada, ou seja, todos os momentos se somam. O momento total ( ) será então o número de átomos multiplicado pelo momento de cada átomo.
Como não temos o número de átomos, vamos assumir que a barra tem uma magnetização uniforme, e que podemos calcular o momento total a partir da magnetização.

Passo 3

Na verdade, para simplificar, vamos considerar que o problema quer que a gente multiplique o momento de cada átomo pelo número total de átomos na barra. Para isso, precisamos relacionar a densidade de átomos no ferro com as dimensões da barra.
Sabemos que a densidade de átomos no ferro é aproximadamente á. Vamos usar isso para calcular o número total de átomos na barra.

Passo 4

Primeiro, vamos converter as medidas da barra para metros:
  • Comprimento ( V = A times L = 2 times 10^-4 , m^2 times 0,20 , m = 4 times 10^-5 , m^3 ): 20 cm = 0,20 m
  • Área da seção reta ( ):
Agora, o volume ( ) da barra é:

Passo 5

Com o volume, podemos calcular o número total de átomos ( N = n times V = 8,5 times 10^28 , ��tomos/m^3 times 4 times 10^-5 , m^3 = 3,4 times 10^24 , átomos ) na barra usando a densidade de átomos ( ):
á

Passo 6

Agora, o momento de dipolo total da barra ( Mbarra = N times md = 3,4 times 10^24 , átomos times 2,219 , mB ) é o número de átomos multiplicado pelo momento de cada átomo:
á
Aqui, é o momento de dipolo de cada átomo.

Passo 7

Vamos calcular Mbarra = 3,4 times 10^24 times 2,219 , mB approx 7,55 times 10^24 , mB :
Então, o momento de dipolo total da barra é aproximadamente .

Passo 8

Agora, para a parte (b), vamos calcular o torque ( tau = M times B times sin(theta) ) necessário para manter a barra numa posição perpendicular ao campo magnético ( tau = M times B ) de .
A fórmula do torque é:
Como a barra está perpendicular ao campo, e , então:

Passo 9

Substituindo os valores:
tau = 7,55 times 10^24 , mB times 0,25 , T
Mas precisamos lembrar que o momento de Bohr ( ) é uma unidade de momento magnético que vale aproximadamente .

Passo 10

Convertendo Mbarra = 7,55 times 10^24 times 9,274 times 10^-24 , A cdot m^2 approx 7, A cdot m^2 para :

Passo 11

Agora, calculamos o torque:
tau = 7, A cdot m^2 times 0,25 , T = 1,75 , N cdot m

Resposta

a) O momento de dipolo total da barra de ferro é aproximadamente .
b) O torque necessário para manter a barra numa posição perpendicular ao campo magnético de é de aproximadamente .

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