pêndulo metálico em um relógio adianta 5 s por dia a uma temperatura e atrasa 10 s por dia a uma temperatura . Determine o coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo, considerando que a aceleração da gravidade local vale e que o período de oscilação do pêndulo é dado por

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo metálico que está adiantando e atrasando o relógio dependendo da temperatura. Precisamos encontrar o coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo. Para isso, vamos usar a fórmula do período de um pêndulo:
onde é o período, é o comprimento do pêndulo e é a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar como a temperatura afeta o comprimento do pêndulo. A dilatação linear é dada por:
onde é o comprimento inicial, é o coeficiente de dilatação linear e é a variação de temperatura.

Passo 3

Sabemos que o pêndulo adiantou 5 segundos por dia a e atrasou 10 segundos por dia a . Vamos converter esses valores para o período do pêndulo.
Um dia tem 86400 segundos, então:
  • Adiantamento de 5 s por dia significa que o período diminuiu.
  • Atraso de 10 s por dia significa que o período aumentou.

Passo 4

Vamos relacionar a variação no período com a variação no comprimento. Usando a fórmula do período:
onde é a variação no período e é a variação no comprimento.

Passo 5

A variação no comprimento é causada pela variação de temperatura:
Substituindo na equação anterior:

Passo 6

Vamos calcular a relação das variações de tempo. Sabemos que 5 s por 86400 s correspondem a:
e para 10 s por 86400 s:
(Negativo porque é um atraso).

Passo 7

Agora, igualamos as duas expressões:
e

Passo 8

Resolvendo a primeira equação para :

Resposta

O coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo é aproximadamente .

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