pêndulo metálico em um relógio adianta 5 s por dia a uma temperatura
e atrasa 10 s por dia a uma temperatura
. Determine o coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo, considerando que a aceleração da gravidade local vale
e que o período de oscilação do pêndulo é dado por
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pêndulo metálico que está adiantando e atrasando o relógio dependendo da temperatura. Precisamos encontrar o coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo. Para isso, vamos usar a fórmula do período de um pêndulo:
onde
é o período,
é o comprimento do pêndulo e
é a aceleração da gravidade.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar como a temperatura afeta o comprimento do pêndulo. A dilatação linear é dada por:
onde
é o comprimento inicial,
é o coeficiente de dilatação linear e
é a variação de temperatura.
Passo 3
Sabemos que o pêndulo adiantou 5 segundos por dia a
e atrasou 10 segundos por dia a
. Vamos converter esses valores para o período do pêndulo.
Um dia tem 86400 segundos, então:
- Adiantamento de 5 s por dia significa que o período diminuiu.
- Atraso de 10 s por dia significa que o período aumentou.
Passo 4
Vamos relacionar a variação no período com a variação no comprimento. Usando a fórmula do período:
onde
é a variação no período e
é a variação no comprimento.
Passo 5
A variação no comprimento é causada pela variação de temperatura:
Substituindo na equação anterior:
Passo 6
Vamos calcular a relação das variações de tempo. Sabemos que 5 s por 86400 s correspondem a:
e para 10 s por 86400 s:
(Negativo porque é um atraso).
Passo 7
Agora, igualamos as duas expressões:
e
Passo 8
Resolvendo a primeira equação para
:
Resposta
O coeficiente de dilatação linear do metal do pêndulo é aproximadamente
.
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