Mostrar que cada uma das funções abaixo não tem derivada no ponto indicado:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função
não tem derivada no ponto
. Isso está ligado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente ao conceito de derivada. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e verificar o que acontece no ponto zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite:
Esse limite representa a inclinação da reta tangente à curva no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição à função
no ponto
. Substituindo na fórmula, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão
. Podemos reescrever isso como:
Agora, analisando o limite quando
se aproxima de 0:
Isso significa que o limite não existe de forma finita; ele “explode” para mais infinito.
Passo 5
Como o limite usado para definir a derivada não existe (tende a infinito), concluímos que a função
não tem derivada no ponto
.
Resposta
A função
não possui derivada no ponto
.
Exercícios relacionados
Um mosquito está preso em um container, cuja temperatura é dada pela função
em graus Celsius. Estando o mosquito posicionado no ponto
, se ele voar na direção do vetor
, ele estará aquecendo ou esfriando? Com qual taxa de variação de temperatura?
Determine, se existir, a equação do plano tangente ao gráfico da função
no ponto
, 4, 4).
Se a função receita for
, obtenha o valor de
que maximiza a receita.
A temperatura em uma chapa de metal em um ponto (x, y) é dada por
. A taxa de variação da temperatura na chapa é dada em
. Se um pequeno inseto está no ponto
e se dirigindo para o ponto
, que afirmação pode ser feita em relação à sua temperatura?