Mostrar que cada uma das funções abaixo não tem derivada no ponto indicado:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a função não tem derivada no ponto . Isso está ligado ao conteúdo de cálculo diferencial, especificamente ao conceito de derivada. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada e verificar o que acontece no ponto zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite:
Esse limite representa a inclinação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à função no ponto . Substituindo na fórmula, temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão . Podemos reescrever isso como:
Agora, analisando o limite quando se aproxima de 0:
Isso significa que o limite não existe de forma finita; ele “explode” para mais infinito.

Passo 5

Como o limite usado para definir a derivada não existe (tende a infinito), concluímos que a função não tem derivada no ponto .

Resposta

A função não possui derivada no ponto .

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