Se mostra na figura abaixo o momento em que uma esfera de 4 kg é solta. Se o vento exerce uma força constante
, determine a intensidade da reação da superfície cilíndrica lisa sobre a esfera ao passar por da sua posição mais baixa.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma esfera de 4 kg é solta em uma superfície cilíndrica lisa. Além disso, tem um vento que está puxando a esfera com uma força constante de
. A gente precisa descobrir qual é a intensidade da reação que a superfície exerce sobre a esfera quando ela passa pelo ponto mais baixo da sua trajetória. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Forças e Dinâmica, especialmente as leis de Newton e o conceito de força centrípeta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na esfera quando ela está no ponto mais baixo. Temos:
-
Peso da esfera (
): É a força que a Terra exerce sobre a esfera, puxando-a para baixo. Calculamos usando a fórmula , onde é a massa e é a aceleração da gravidade. -
Força do vento (
): É uma força horizontal constante que está puxando a esfera na direção do eixo (horizontal). -
Reação da superfície (
): É a força que a superfície cilíndrica exerce sobre a esfera. Essa força tem componentes na direção vertical e, por causa da força do vento, também na direção horizontal.
Passo 3
Vamos calcular o peso da esfera:
Passo 4
Agora, vamos analisar as forças na direção horizontal e vertical.
-
Horizontal (
): Temos a força do vento e a componente horizontal da reação da superfície . -
Vertical (
): Temos o peso para baixo e a componente vertical da reação da superfície para cima.
Passo 5
No ponto mais baixo, a esfera está mudando de direção, o que significa que há uma aceleração centrípeta. A força resultante na direção vertical é responsável por essa aceleração. Então, aplicamos a segunda lei de Newton na direção vertical:
Onde
é a soma das forças na vertical e
é a aceleração centrípeta.
Passo 6
A aceleração centrípeta (
) é dada por:
Mas aqui, como não temos informações sobre a velocidade (
) ou o raio (
) da trajetória, vamos considerar que a única aceleração relevante é a gravidade e a força do vento. Portanto, a reação da superfície deve equilibrar essas forças.
Passo 7
Vamos somar as forças na direção vertical:
Isso significa que a componente vertical da reação é igual ao peso da esfera.
Passo 8
Agora, na direção horizontal, a única força atuando é a força do vento. A reação da superfície também tem uma componente horizontal (
) que equilibra essa força:
Passo 9
Para encontrar a intensidade total da reação da superfície (
), combinamos as componentes vertical e horizontal usando o teorema de Pitágoras:
Resposta
A intensidade da reação da superfície cilíndrica sobre a esfera no ponto mais baixo é de 50 N.
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-
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