Se mostra na figura abaixo o momento em que uma esfera de 4 kg é solta. Se o vento exerce uma força constante F=30 i N, determine a intensidade da reação da superfície cilíndrica lisa sobre a esfera ao passar por da sua posição mais baixa. (g=10 m / s^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde uma esfera de 4 kg é solta em uma superfície cilíndrica lisa. Além disso, tem um vento que está puxando a esfera com uma força constante de F = 30 i N. A gente precisa descobrir qual é a intensidade da reação que a superfície exerce sobre a esfera quando ela passa pelo ponto mais baixo da sua trajetória. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Forças e Dinâmica, especialmente as leis de Newton e o conceito de força centrípeta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as forças que atuam na esfera quando ela está no ponto mais baixo. Temos:
  1. Peso da esfera ( P): É a força que a Terra exerce sobre a esfera, puxando-a para baixo. Calculamos usando a fórmula P = m cdot g, onde m é a massa e g é a aceleração da gravidade.
  2. Força do vento ( F): É uma força horizontal constante que está puxando a esfera na direção do eixo i (horizontal).
  3. Reação da superfície ( N): É a força que a superfície cilíndrica exerce sobre a esfera. Essa força tem componentes na direção vertical e, por causa da força do vento, também na direção horizontal.

Passo 3

Vamos calcular o peso da esfera:
P = m cdot g = 4 , kg cdot 10 , m/s^2 = 40 , N (para baixo)

Passo 4

Agora, vamos analisar as forças na direção horizontal e vertical.
  • Horizontal ( x): Temos a força do vento F = 30 i N e a componente horizontal da reação da superfície Nx.
  • Vertical ( y): Temos o peso P = 40 , N para baixo e a componente vertical da reação da superfície Ny para cima.

Passo 5

No ponto mais baixo, a esfera está mudando de direção, o que significa que há uma aceleração centrípeta. A força resultante na direção vertical é responsável por essa aceleração. Então, aplicamos a segunda lei de Newton na direção vertical:
sum Fy = m cdot ac
Onde sum Fy é a soma das forças na vertical e ac é a aceleração centrípeta.

Passo 6

A aceleração centrípeta ( ac) é dada por:
ac = v^2r
Mas aqui, como não temos informações sobre a velocidade ( v) ou o raio ( r) da trajetória, vamos considerar que a única aceleração relevante é a gravidade e a força do vento. Portanto, a reação da superfície deve equilibrar essas forças.

Passo 7

Vamos somar as forças na direção vertical:
Ny - P = 0 Rightarrow Ny = P = 40 , N
Isso significa que a componente vertical da reação é igual ao peso da esfera.

Passo 8

Agora, na direção horizontal, a única força atuando é a força do vento. A reação da superfície também tem uma componente horizontal ( Nx) que equilibra essa força:
Nx = F = 30 , N

Passo 9

Para encontrar a intensidade total da reação da superfície ( N), combinamos as componentes vertical e horizontal usando o teorema de Pitágoras:
N = raizNx^2 + Ny^2 = raiz30^2 + 40^2 = raiz900 + 1600 = raiz2500 = 50 , N

Resposta

A intensidade da reação da superfície cilíndrica sobre a esfera no ponto mais baixo é de 50 N.

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