Como mostrado na figura ao lado, uma pedra é lançada para cima do topo de um edifício a um ângulo de 30^circ com a horizontal, com uma velocidade inicial de 20,0 m / s. 1-a) Quanto tempo leva para a pedra atingir o solo?

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cinemática onde uma pedra é lançada do topo de um edifício. A pedra é lançada para cima com um ângulo de 30^circ em relação à horizontal e possui uma velocidade inicial de 20,0 , m/s. Precisamos descobrir quanto tempo leva para a pedra atingir o solo. Para isso, vamos usar as equações do movimento vertical e considerar a aceleração da gravidade.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical. A componente vertical da velocidade inicial ( v0y) é essencial para calcular o tempo de queda.
A fórmula para a componente vertical é:
v0y = v0 cdot sin(theta)
Onde:
  • v0 = 20,0 , m/s
  • theta = 30^circ

Passo 3

Calculando v0y:
v0y = 20,0 cdot sin(30^circ) = 20,0 cdot 0,5 = 10,0 , m/s

Passo 4

Agora, consideramos a equação do movimento vertical para determinar o tempo total de voo. A posição vertical y em função do tempo t é dada por:
y(t) = y0 + v0y cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • y0 é a altura do edifício (vamos considerar como y0)
  • g = 9,81 , m/s^2 (aceleração da gravidade)
  • y(t) = 0 quando a pedra atinge o solo

Passo 5

Substituindo y(t) = 0 na equação:
0 = y0 + 10,0 cdot t - 12 cdot 9,81 cdot t^2
Simplificando:
12 cdot 9,81 cdot t^2 - 10,0 cdot t - y0 = 0
4,905 , t^2 - 10,0 , t - y0 = 0

Passo 6

Esta é uma equação quadrática na forma a t^2 + b t + c = 0, onde:
  • a = 4,905
  • b = -10,0
  • c = -y0
Vamos resolver para t usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 7

Substituindo os valores:
t = 10,0 pm raiz(-10,0)^2 - 4 cdot 4,905 cdot (-y0)2 cdot 4,905
t = 10,0 pm raiz100 + 19,62 cdot y09,81

Passo 8

Como o tempo não pode ser negativo, descartamos a solução negativa:
t = 10,0 + raiz100 + 19,62 cdot y09,81

Resposta

O tempo que a pedra leva para atingir o solo é:
t = 10,0 + raiz100 + 19,62 cdot y09,81 , segundos

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