Um professor de física acrobata está em pé sobre o centro de uma mesa girante, mantendo seus braços estendidos horizontalmente com um haltere de
em cada mão. Ele está girando em torno de um eixo vertical completando uma volta em 2,0s. Sabe-se que o momento de inércia do professor (sem halteres) é igual a
quando seus braços estão estendidos para fora, diminuindo para
quando suas mãos estão próximas do seu estômago. Os halteres estão inicialmente a uma distância de
do eixo e a uma distância final de
do eixo. Considere os halteres como partículas. Determine:
(a) A nova velocidade angular do professor quando ele aproxima os dois halteres do seu estômago;
(a) A nova velocidade angular do professor quando ele aproxima os dois halteres do seu estômago;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um professor que está girando em uma mesa e segura halteres. A ideia aqui envolve momento de inércia e velocidade angular. Precisamos descobrir qual é a nova velocidade angular dele quando ele aproxima os halteres do corpo. Para isso, vamos precisar usar a conservação do momento angular e calcular os momentos de inércia antes e depois de ele mover os halteres.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir a velocidade angular inicial do professor. Sabemos que ele completa uma volta a cada 2,0 segundos. A velocidade angular (
) está relacionada ao tempo de uma volta (período
) pela fórmula:
Substituindo
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o momento de inércia total inicial (
). Ele é a soma do momento de inércia do professor sem os halteres mais o momento de inércia dos halteres quando estão a 1,0 m do eixo.
O momento de inércia dos halteres, tratados como partículas, é dado por:
Como são dois halteres:
Então:
Passo 4
Vamos calcular agora o momento de inércia total final (
). O momento de inércia do professor diminui para
quando ele aproxima os halteres, e a distância dos halteres passa de 1,0 m para 0,20 m.
Calculando o momento de inércia dos halteres na nova posição:
Então:
Passo 5
Com os momentos de inércia antes e depois, vamos usar a conservação do momento angular. Sem torque externo, o momento angular inicial é igual ao final:
Queremos encontrar
, então isolamos ela:
Substituindo os valores:
Resposta
A nova velocidade angular do professor é
.