Um professor de física acrobata está em pé sobre o centro de uma mesa girante, mantendo seus braços estendidos horizontalmente com um haltere de 5,0 kg em cada mão. Ele está girando em torno de um eixo vertical completando uma volta em 2,0s. Sabe-se que o momento de inércia do professor (sem halteres) é igual a 3,0 kg cdot m^2 quando seus braços estão estendidos para fora, diminuindo para 2,2 kg cdot m^2 quando suas mãos estão próximas do seu estômago. Os halteres estão inicialmente a uma distância de 1,0 m do eixo e a uma distância final de 0,20 m do eixo. Considere os halteres como partículas. Determine:
(a) A nova velocidade angular do professor quando ele aproxima os dois halteres do seu estômago;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um professor que está girando em uma mesa e segura halteres. A ideia aqui envolve momento de inércia e velocidade angular. Precisamos descobrir qual é a nova velocidade angular dele quando ele aproxima os halteres do corpo. Para isso, vamos precisar usar a conservação do momento angular e calcular os momentos de inércia antes e depois de ele mover os halteres.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir a velocidade angular inicial do professor. Sabemos que ele completa uma volta a cada 2,0 segundos. A velocidade angular ( omega = 2piT ) está relacionada ao tempo de uma volta (período omega1 = 2pi2,0 = pi, rad/s ) pela fórmula:
Substituindo :

Passo 3

Agora, vamos calcular o momento de inércia total inicial ( I = m cdot r^2 ). Ele é a soma do momento de inércia do professor sem os halteres mais o momento de inércia dos halteres quando estão a 1,0 m do eixo.
O momento de inércia dos halteres, tratados como partículas, é dado por:
Iha
Como são dois halteres:
Itotal1 = I1 + Iha
Então:

Passo 4

Vamos calcular agora o momento de inércia total final ( Iha). O momento de inércia do professor diminui para Itotal2 = I2 + Iha quando ele aproxima os halteres, e a distância dos halteres passa de 1,0 m para 0,20 m.
Calculando o momento de inércia dos halteres na nova posição:
Então:

Passo 5

Com os momentos de inércia antes e depois, vamos usar a conservação do momento angular. Sem torque externo, o momento angular inicial é igual ao final:
Itotal1 cdot omega1 = Itotal2 cdot omega2
Queremos encontrar omega2 = Itotal1 cdot omega1Itotal2 , então isolamos ela:
omega2 = 13,0, kg cdot m^2 cdot pi, rad/s2,6, kg cdot m^2 = 5,0, pi, rad/s
Substituindo os valores:

Resposta

A nova velocidade angular do professor é .

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