Como mostrado na figura ao lado, uma pedra é lançada para cima do topo de um edifício a um ângulo de 30^circ com a horizontal, com uma velocidade inicial de 20,0 m / s. 1-b) Qual é a velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma pedra lançada para cima do topo de um edifício com um ângulo de 30^circ em relação à horizontal e uma velocidade inicial de 20,0 , m/s. Queremos descobrir qual é a velocidade da pedra imediatamente antes de ela atingir o solo.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática e leis da conservação de energia. Vamos dividir a velocidade inicial em suas componentes horizontal e vertical, calcular o tempo total de voo e, por fim, determinar a velocidade final antes do impacto.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nas componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y).
Usamos as funções trigonométricas seno e cosseno para isso:
v0x = v0 cdot cos(theta)
v0y = v0 cdot sin(theta)
Onde:
  • v0 = 20,0 , m/s
  • theta = 30^circ
Calculando:
v0x = 20,0 cdot cos(30^circ) approx 20,0 cdot 0,8660 approx 17,32 , m/s
v0y = 20,0 cdot sin(30^circ) approx 20,0 cdot 0,5 = 10,0 , m/s

Passo 3

Agora, vamos determinar o tempo total de voo da pedra até atingir o solo. Para isso, precisamos considerar a trajetória vertical do movimento.
A equação do movimento vertical é:
y = v0y cdot t - 12 g t^2
Onde:
  • y é a altura final (no caso, a altura do solo, que vamos considerar como 0)
  • g = 9,81 , m/s^2 é a aceleração da gravidade
Considerando que a pedra parte da altura do edifício e retorna ao solo, podemos usar a equação de movimento para encontrar o tempo total de voo. Porém, sem a altura do edifício, precisamos assumir que a pedra atinge o solo ao mesmo nível da altura inicial. Nesse caso, o tempo total de voo pode ser calculado usando a seguinte fórmula:
ttotal = 2 v0yg
Substituindo os valores:
ttotal = 2 cdot 10,09,81 approx 20,09,81 approx 2,04 , s

Passo 4

Agora que temos o tempo total de voo, vamos calcular a componente vertical da velocidade imediatamente antes de atingir o solo.
A velocidade vertical final ( vy) pode ser encontrada usando:
vy = v0y - g ttotal
Substituindo os valores:
vy = 10,0 - 9,81 cdot 2,04 approx 10,0 - 20,0 approx -10,0 , m/s
O sinal negativo indica que a direção da velocidade é para baixo.

Passo 5

Finalmente, vamos calcular a velocidade total da pedra imediatamente antes de atingir o solo, combinando as componentes horizontal e vertical.
Usamos o teorema de Pitágoras:
v = raizvx^2 + vy^2
Substituindo os valores:
v = raiz(17,32)^2 + (-10,0)^2 approx raiz299,9 + 100,0 approx raiz399,9 approx 19,998 , m/s
Arredondando:
v approx 20,0 , m/s

Resposta

A velocidade da pedra imediatamente antes de atingir o solo é aproximadamente 20,0 , m/s.

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