Mostrar que arg senh , para todo valor de . Sejam e . Então, e portanto, . Multiplicando ambos os membros da igualdade por , temos
Resolvendo esta equação para pela fórmula quadrática, obtemos
Como para qualquer , a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto,
Tomando o logaritmo natural, temos
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função inversa do seno hiperbólico, denotada por , é igual a para todo número real . Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções hiperbólicas e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função seno hiperbólico, . Ela é definida por:
Aqui, é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828. A função associa cada número real a outro número real baseado nessa fórmula.
Passo 3
Sabemos que se , então temos que:
Nosso objetivo é resolver essa equação para em termos de .
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores e simplificar:
Reorganizando a equação, obtemos uma equação quadrática em termos de :
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara. A solução fica:
Como é sempre positivo, descartamos a solução com o sinal negativo. Assim:
Passo 6
Para encontrar , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Portanto, mostramos que:
Resposta
A função inversa do seno hiperbólico é dada por:
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Determinar quais das seguintes funções são pares ou ímpares
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) .
Construir os gráficos das funções de grau. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) se
(b) , se
(c) .
Construir os gráficos das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem.
(a) , se e -2
(b) , se
(c) , se
(d) , se e .
Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de com relação a :