Mostrar que arg senh
, para todo valor de
. Sejam
e
. Então,
e portanto,
. Multiplicando ambos os membros da igualdade por
, temos
Resolvendo esta equação para
pela fórmula quadrática, obtemos
Como
para qualquer
, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto,
Tomando o logaritmo natural, temos
Resolvendo esta equação para
Tomando o logaritmo natural, temos
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função inversa do seno hiperbólico, denotada por
, é igual a
para todo número real
. Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções hiperbólicas e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função seno hiperbólico,
. Ela é definida por:
Aqui,
é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828. A função
associa cada número real
a outro número real baseado nessa fórmula.
Passo 3
Sabemos que se
, então temos que:
Nosso objetivo é resolver essa equação para
em termos de
.
Passo 4
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores e simplificar:
Reorganizando a equação, obtemos uma equação quadrática em termos de
:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática para
usando a fórmula de Bhaskara. A solução fica:
Como
é sempre positivo, descartamos a solução com o sinal negativo. Assim:
Passo 6
Para encontrar
, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Portanto, mostramos que:
Resposta
A função inversa do seno hiperbólico é dada por: