Mostrar que arg senh , para todo valor de . Sejam e . Então, e portanto, . Multiplicando ambos os membros da igualdade por , temos Resolvendo esta equação para pela fórmula quadrática, obtemos Como para qualquer , a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto, Tomando o logaritmo natural, temos

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função inversa do seno hiperbólico, denotada por , é igual a para todo número real . Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções hiperbólicas e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função seno hiperbólico, . Ela é definida por: Aqui, é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828. A função associa cada número real a outro número real baseado nessa fórmula.

Passo 3

Sabemos que se , então temos que: Nosso objetivo é resolver essa equação para em termos de .

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores e simplificar: Reorganizando a equação, obtemos uma equação quadrática em termos de :

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para usando a fórmula de Bhaskara. A solução fica: Como é sempre positivo, descartamos a solução com o sinal negativo. Assim:

Passo 6

Para encontrar , aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados: Portanto, mostramos que:

Resposta

A função inversa do seno hiperbólico é dada por:

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