Mostrar que arg senh x=ln (x+raizx^2+1), para todo valor de x. Sejam x in R e y=arg senh x. Então, x=senh y=e^y-e^-y2 e portanto, e^y-2 x-e^-y=0. Multiplicando ambos os membros da igualdade por e^y, temos
e^2 y-2 x e^y-1=0
Resolvendo esta equação para e^y pela fórmula quadrática, obtemos
e^y=2 x pm raiz4 x^2+42=x pm raizx^2+1
Como e^y>0 para qualquer y, a solução envolvendo o sinal negativo deve ser descartada. Portanto,
e^y=x+raizx^2+1
Tomando o logaritmo natural, temos
& y=ln (x+raizx^2+1), ou seja, & arg senh x=ln (x+raizx^2+1)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos mostrar que a função inversa do seno hiperbólico, denotada por arg senh x, é igual a ln (x+raizx^2+1) para todo número real x. Para resolver isso, vamos usar propriedades das funções hiperbólicas e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função seno hiperbólico, senh y. Ela é definida por:
senh y = e^y - e^-y2
Aqui, e é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,71828. A função senh y associa cada número real y a outro número real baseado nessa fórmula.

Passo 3

Sabemos que se y = arg senh x, então temos que:
x = senh y = e^y - e^-y2
Nosso objetivo é resolver essa equação para y em termos de x.

Passo 4

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por 2e^y para eliminar os denominadores e simplificar:
2x e^y = e^2y - 1
Reorganizando a equação, obtemos uma equação quadrática em termos de e^y:
e^2y - 2x e^y - 1 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática para e^y usando a fórmula de Bhaskara. A solução fica:
e^y = 2x pm raiz(2x)^2 + 42 = x pm raizx^2 + 1
Como e^y é sempre positivo, descartamos a solução com o sinal negativo. Assim:
e^y = x + raizx^2 + 1

Passo 6

Para encontrar y, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
y = ln (x + raizx^2 + 1)
Portanto, mostramos que:
arg senh x = ln (x + raizx^2 + 1)

Resposta

A função inversa do seno hiperbólico é dada por:
arg senh x = ln (x + raizx^2 + 1)

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