A temperatura em uma chapa de metal em um ponto (x, y) é dada por . A taxa de variação da temperatura na chapa é dada em . Se um pequeno inseto está no ponto e se dirigindo para o ponto , que afirmação pode ser feita em relação à sua temperatura?

Passo 1

Então, a gente tem uma chapa de metal onde a temperatura em cada ponto (x, y) é dada pela função . O exercício quer saber como a temperatura está mudando quando um inseto se move do ponto (2,4) para o ponto (-8,6). Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas parciais e o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como uma função muda em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos dizem como a temperatura muda quando a gente varia apenas uma das coordenadas.
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto onde o inseto está inicialmente, que é (2,4).
  • Para :
  • Para :

Passo 4

A próxima coisa é calcular o vetor de direção no qual o inseto está se movendo. O inseto vai de (2,4) para (-8,6), então o vetor direção é:
Mas para usar na derivada direcional, precisamos que esse vetor tenha comprimento 1, ou seja, que seja um vetor unitário. Então, vamos normalizar :
Então, o vetor unitário é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada direcional da temperatura na direção de . A fórmula para a derivada direcional é:
Substituindo os valores que já temos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Resposta

A temperatura na chapa está aumentando à taxa aproximada de na direção que o inseto está se movendo.

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