A temperatura em uma chapa de metal em um ponto (x, y) é dada por
. A taxa de variação da temperatura na chapa é dada em
. Se um pequeno inseto está no ponto
e se dirigindo para o ponto
, que afirmação pode ser feita em relação à sua temperatura?
Passo 1
Então, a gente tem uma chapa de metal onde a temperatura em cada ponto (x, y) é dada pela função
. O exercício quer saber como a temperatura está mudando quando um inseto se move do ponto (2,4) para o ponto (-8,6). Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas parciais e o conceito de derivada direcional, que nos ajuda a entender como uma função muda em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. As derivadas parciais nos dizem como a temperatura muda quando a gente varia apenas uma das coordenadas.
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto onde o inseto está inicialmente, que é (2,4).
-
Para
: -
Para
:
Passo 4
A próxima coisa é calcular o vetor de direção no qual o inseto está se movendo. O inseto vai de (2,4) para (-8,6), então o vetor direção
é:
Mas para usar na derivada direcional, precisamos que esse vetor tenha comprimento 1, ou seja, que seja um vetor unitário. Então, vamos normalizar
:
Então, o vetor unitário é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada direcional da temperatura na direção de
. A fórmula para a derivada direcional
é:
Substituindo os valores que já temos:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Resposta
A temperatura na chapa está aumentando à taxa aproximada de
na direção que o inseto está se movendo.
Exercícios relacionados
Se a função receita for
, obtenha o valor de
que maximiza a receita.
Mostrar que cada uma das funções abaixo não tem derivada no ponto indicado:
Sendo
a equação de uma superfície, qual é a equação do plano tangente no ponto de abscissa 2 e ordenada - 3 ?
Calcular as três primeiras derivadas de cada uma das funções: